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阶段质量评价(四)　幂函数、指数函数和对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，，则f(16)＝(　　)
A．－ B.
C．－4 D．4
2．已知3x＝2，log3＝y，则2x＋y的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．9
3．已知a＝log3，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
4．下列函数为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增的函数是(　　)
A．f(x)＝x B．f(x)＝x－3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝|ln x|
5．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1,0)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
6．函数f(x)＝ln(＋x)的图象可能为(　　)
7．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
8．设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递增
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递增
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．已知函数f(x)＝ln(2x－x2)，则(　　)
A．f(x)的定义域为(0,2)
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的单调递减区间是(1,2)
D．f(x)的值域为R
10．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝ex，则下列说法正确的是(　　)
A．g(0)＝1
B．f2(x)－g2(x)＝1
C．f(2x)＝2f(x)·g(x)
D．若f(m＋2)＋f(m)>0，则m>－1
11．已知2x＝3y＝36，则下列说法正确的是(　　)
A．xy＝2(x＋y) B．xy>16
C．x＋y<9 D．x2＋y2<32
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．若x∈(0，＋∞)，幂函数y＝(a2－a－1)xa－1单调递减，则实数a的值为________．
13．函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，x∈的值域为________．
14．已知函数f(x)＝ax2－(a－2)x＋1(a>0且a≠1)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)设函数f(x)＝10－ax，其中a为常数，且f(3)＝.
(1)求a的值；
(2)若f(x)≥4，求x的取值范围．
16．(15分)一般地，海面上的大气压强是760 mmHg，高空中因空气稀薄，大气压强就小于760 mmHg，高度越高，大气压强越低，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p＝760e－hk，其中e是自然对数的底数，k是常数．根据实验，已知500 m高空处的大气压强是700 mmHg.
(1)确定关系式中的常数k；
(2)求1 000 m高空处的大气压强；
(3)如果高空某处的大气压强是560 mmHg，那么该处的高度是多少？
17．(15分)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若 x∈R，f(x2－x)＋f(4－mx)>0恒成立，求实数m的取值范围．
18．(17分)已知y＝f(x)(x∈D，D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件：①函数f(x)在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b] D，使函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y＝f(x)，x∈D为闭函数．
(1)判断函数f(x)＝1＋x－x2(x∈(0，＋∞))是否为闭函数？并说明理由；
(2)求证：函数y＝－x3(x∈[－1,1])为闭函数；
(3)若y＝k＋(k<0)是闭函数，求实数k的取值范围．
19．(17分)给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y＝－1只有一个交点；②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整．
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x＋1)－f(x)＝2x－1，且__________．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意x∈，2f(log2x)＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
阶段质量评价(四)
1．选B　设f(x)＝xα，依题意f(2)＝2α＝＝2－，所以α＝－.所以f(x)＝x－.所以f(16)＝16－＝(42)－＝.
2．选B　由3x＝2，得log32＝x.又因为log3＝y，所以2x＋y＝2log32＋log3＝log3＝log39＝2.
3．选D　由题意可知，log33log3，即c>a.综上可得c>a>b.
4．选C　函数f(x)＝x－3是奇函数，不符合题意；
函数f(x)＝|ln x|是非奇非偶函数，不符合题意；
f(x)＝x为偶函数且在(－∞，0)上单调递减，不符合题意；
f(x)＝|x|为偶函数且在(－∞，0)上单调递增．
5．选B　由y＝|1－x|＋m与x轴有公共点，知y＝|1－x|与y＝－m有公共点，y＝|1－x|的图象如图所示．
由图可知0<－m≤1 －1≤m<0.
6．选A　因为f(－x)＝ln(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝ln 1＝0.所以f(x)为奇函数．所以选项C错误．根据解析式可以发现，当x>0时，随着x的增大，f(x)一定是增大的，所以B、D错误．
7．选D　由题意得y＝x(x－a)在区间(0,1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D.
8．选B　由得x≠±.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝－(ln|2x＋1|－ln|2x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|＝ln，又＝1＋＝1＋，可得内层函数t＝的图象如图所示，
在，上单调递减，在上单调递增．
又y＝ln t是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f(x)在上单调递增，在，上单调递减．
9．选AC　对于A，由2x－x2>0，得0对于B，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)不是奇函数，故B错误；
对于C，∵u＝2x－x2在(1,2)上单调递减，而y＝ln u在u>0时单调递增，∴f(x)＝ln(2x－x2)在(1,2)上单调递减，故C正确；
对于D，∵0<2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴f(x)≤f(1)＝0，故D错误．
10．选ACD　由函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，即－f(x)＋g(x)＝e－x，与f(x)＋g(x)＝ex联立，
可得g(x)＝，f(x)＝，
g(0)＝＝＝1，A选项正确；
f2(x)－g2(x)＝2－2＝＝－1，B选项错误；
f(2x)＝，2f(x)·g(x)＝2×·＝，f(2x)＝2f(x)·g(x)，C选项正确；
函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，若f(m＋2)＋f(m)>0，则f(m＋2)>－f(m)＝f(－m)，有m＋2>－m，所以m>－1，D选项正确．
11．选ABC　由2x＝3y＝36可得x＝log236，y＝log336.
对于A，＝＋＝log363＋log362＝log366＝，所以xy＝2(x＋y)，故选项A正确．
对于B，x＝log236＝log24＋log29＝2＋log29，log28即3y＝log336＝log39＋log34＝2＋log34，log33所以y＝2＋log34∈(3,4)．所以x＋y>8，xy＝2(x＋y)>16，故选项B正确．
对于C，x＝log236＝2＋2log23，y＝log336＝2＋2log32，
所以x＋y＝4＋2(log23＋log32)＝4＋2.
令log23＝t∈(1,2)，
则x＋y＝4＋2，在t∈(1,2)上单调递增，
所以x＋y＝4＋2<4＋2×＝9，故选项C正确．
对于D，x＝2＋log29∈(5,6)，y＝2＋log34∈(3,4)，所以x2>52＝25，y2>32＝9.
所以x2＋y2>34，故选项D不正确．故选A、B、C.
12．解析：因为函数y＝(a2－a－1)xa－1是幂函数，
所以a2－a－1＝1，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，y＝x－2，满足在区间(0，＋∞)上单调递减；当a＝2时，y＝x，不满足在区间(0，＋∞)上单调递减．
答案：－1
13．解析：令t＝log2x，由于函数t＝log2x在上单调递增，
当x∈时，log2≤log2x≤log24，即－2≤log2x≤2，则－2≤t≤2.
所以f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log2x＋log24)(log2x＋log22)＝(t＋2)(t＋1)．
令g(t)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝2－，
因为函数g(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以g(t)min＝－.
又g(－2)＝0，g(2)＝12，
所以g(t)max＝g(2)＝12，即－≤g(t)≤12.
因此函数f(x)的值域为.
答案：
14．解析：复合函数f(x)＝ax2－(a－2)x＋1可以看作y＝at，t＝x2－(a－2)x＋1.
当a>1时，外函数y＝at单调递增，所以内函数t＝x2－(a－2)x＋1在上单调递减，则≥1，解得a≥4.
当0综上所述，a≥4或0答案：∪[4，＋∞)
15．解：(1)由f(3)＝，得10－3a＝，得3a－10＝－4，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝22x－10.
由f(x)≥4，得22x－10≥22，
故2x－10≥2，解得x≥6.
故x的取值范围为[6，＋∞)．
16．解：(1)由题设，760e－500k＝700，
则－500k＝ln，故k＝－ln.
(2)由(1)知p＝760e，∴当h＝1 000时，p＝760e2ln ＝760×2≈644.74 mmHg.故1 000 m高空处的大气压强约为644.74 mmHg.
(3)由(1)知760e＝560，则h＝≈1 856.69 m.
故大约1 856.69 m高空处的大气压强是560 mmHg.
17．解：(1)由题意知f(0)＝0，解得a＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝3x－1.
当x<0时，则－x>0，
所以f(－x)＝3－x－1.
又f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)．
故当x<0时，f(x)＝－3－x＋1.
综上，f(x)＝
(2)由f(x2－x)＋f(4－mx)>0，得f(x2－x)>－f(4－mx)．
因为y＝f(x)是奇函数，所以f(x2－x)>f(mx－4)．
当x≥0时，f(x)＝3x－1，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以y＝f(x)在R上单调递增．
可得 x∈R，x2－(m＋1)x＋4>0恒成立，
故Δ＝[－(m＋1)]2－16<0，解得－518．解：(1)函数f(x)在区间上单调递增，在上单调递减．
所以该函数不在定义域内单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．
(2)证明：对于任意x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
有y1－y2＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1)·>0，
即y1＞y2，故y＝－x3是[－1,1]上的减函数．又因为y＝－x3在[－1,1]上的值域是[－1,1]，
所以函数y＝－x3(x∈[－1,1])为闭函数．
(3)易知y＝k＋是[0，＋∞)上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有
故a，b是x＝k＋的两个不等的实数根，即方程组有两个不等非负实数根；
设x1，x2为方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0的两根，
则
解得－故k的取值范围为.
19．解：(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x＋1)－f(x)＝2x－1，
又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b，
∴2ax＋a＋b＝2x－1.
∴解得
∴二次函数f(x)＝x2－2x＋c.
若选①
∵函数f(x)的图象与直线y＝－1只有一个交点，
∴交点为函数f(x)的顶点，即f(1)＝1－2＋c＝－1，解得c＝0.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x.
若选②
设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1－x2|＝2.由根与系数的关系可知x1＋x2＝2，x1x2＝c，
∴|x1－x2|＝＝＝2，解得c＝0.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x.
(2)由2f(log2x)＋m≤0，得m≤－2f(log2x)．
当x∈时，log2x∈[－2,3]，
令h＝log2x，则h∈[－2,3]，
∴对任意x∈，2f(log2x)＋m≤0恒成立，等价于m≤－2f(h)在h∈[－2,3]上恒成立．
∴m≤[－2f(h)]min.
又f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，当x∈[－2,3]时，f(x)max＝f(－2)＝8，
∴m≤[－2f(h)]min＝－2f(－2)＝－16，
即实数m的取值范围为(－∞，－16]．

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