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2024-2025学年福建省三明二中高一（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.复数1 的共轭复数是( )
A. 1 + B. 1 C. 2 + 2 D. 2 2
2.下列叙述中，错误的是( )
A.数据的标准差比较小时，数据比较分散
B.样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响
C.极差为一组数据中最大值与最小值的差
D.任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变
3.在梯形 中， // 1， ⊥ ， = = 2 = 2，点 在线段 上，则
的取值范围为( )
A. (2,8) B. [2,8] C. (4,16) D. [4,16]
4.对于不同直线 ， 和平面 ， ，下列叙述错误的是( )
A. ⊥ ， ⊥ ，则 //
B. ⊥ ， ∩ = ， ， ⊥ ，则 ⊥
C. ， ， ∩ = ， // ， // ，则 //
D. // ， // ， ∩ = ，则 //
5 .已知 sin( 3 ) + =
3
5，则 sin(2 +

6 ) =( )
A. 7 B. 725 25 C.
24
25 D.
24
25
6.已知向量 = ( 1, 3)，| | = 3， ( 2 ) = 10，则向量 与 的夹角是( )
A. B. 3 6 C.
5
6 D.
2
3
7.已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环 1 1，且 1 1， 的弧长分别为 2 ，4 .若 1 = 3，
则该圆台的体积是( )
A. 7 2 B. 7 33 3
C. 14 23 D.
14 3
3
8.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为 5 3， = 4， = 10，则 =( )
A. 21 B. 31 C. 41 D. 61
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知向量 = (2, 1), = ( 3, 1)，则( )
A. ( + ) ⊥
B.向量 在向量 上的投影向量是 1 2

C. |2 + | = 10
D. 3 10 10与向量 方向相同的单位向量是( 10 , 10 )
10.已知△ 中， = 2 ，( + 2 ) = 0, = 60°，则下列说法正确的是( )
A. = 1 + 2 3 3
B. =
C. = 7 114 D. 在 上的投影向量为

2

11.已知函数 ( ) = 2 3 + 2 ，则( )
A. ( ) 的图象关于直线 = 3对称
B. ( )在[0, 3 ]上单调递增
C. ( ) 在[0, 3 ]上的值域为[1,2]
D. 将函数 = sin( + 6 )图象上所有点的纵坐标扩大到原来的 4 倍，横坐标不变，可以得到 ( )的图象
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.在三棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ，且 = 3， = 1， = 2，则三棱锥 外接
球的体积为______．
13.已知等边△ 6的平面直观图△ ′ ′ ′的面积为16，则等边△ 的面积是______．
14.在平面四边形 中， = 3， = 4， = 6， = 7，则 的值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 (1, 3)， ( 2, )， (4,2 3)， // ， 为坐标原点．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 类的 5 个问题中
任选两题作答，若两题都答对，则得 40 分，否则得 0 分；第二轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，每答
对 1 题得 30 分，答错得 0 分.若两轮总分不低于 60 分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已
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知小红对 ， 类每个问题的答对的概率均为 0.5.在 类的 5 个问题中，小明只能答对 4 个问题，在 类的 5
个问题中，小明每个问题答对的概率都为 0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得 40 分的概率；
(2)求小红两轮总分得 60 分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 3；
( )求△ 周长的取值范围；
( )求△ 面积的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱 ⊥底面 ，且 = 3．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 17 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是△ 内一点，且 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ，
， 为垂足，记 = ， = ， = ．
(1)若∠ = 60°， = 2， = 3， = ， 的延长线交 于点 ，求 ；
(2)若 = 2， + = 2 ， = 2 = 2，求 及 ；
(3)证明： + + ≥ 2( + + )，当且仅当 = = 且 = = 时，等号成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8 2 3
13. 34
14.10
15.(1) (1, 3)， ( 2, )， (4,2 3)，
则 = ( 3, 3), = (6,2 3 )，
因为 // ，
所以 6( 3) = 3(2 3 )，解得 = 0，
所以 = (1, 3), = ( 2,0)，
cos

, =

= 2 = 1所以 ，
| | | | 2×2 2
故向量 与 2 的夹角为 3；
(2)因为| | = | | = 2， 与 2 的夹角为 3，
所以△ 1的面积为 | || |sin , 2 =
1 3
2 × 2 × 2 × 2 = 3．
16.(1)对 类的 5 个问题进行编号： ， ， ， ， ，第一轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，
则有{ , , , , , , , , , }共 10 种，
设小明只能答对 4 个问题的编号为： ， ， ， ，
则小明在第一轮得 40 分，有{ , , , , , , }共 6 种，
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则小明在第一轮得 40 6 3分的概率为：10 = 5；
(2)设“两轮总分得 60 分”为事件 ，
“第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”为事件 ，
“如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”．
则 = + ，
( ) = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125；
( ) = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625
( ) = ( ) + ( ) = 0.125 + 0.0625 = 316；
(3)由(1) 3知，小明在第一轮得 40 分的概率为5，
3 2
则小明在第一轮得 0 分的概率为：1 5 = 5，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于 60 分
所以如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对一题得 30 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
1 = 0.5 × 0.5 × [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] = 0.125；
32 = 5 × (0.4 × 0.6 + 0.6 × 0.4) = 0.288；
如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
3 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.0625
3
； 4 = 5 × 0.4 × 0.4 = 0.096；
如果第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
5 = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125， 6 =
2
5 × 0.4 × 0.4 = 0.064；
如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
7 = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625；
所以小红晋级复赛的概率为： 1 + 3 + 5 + 7 = 0.375；
小明晋级复赛的概率为： 2 + 4 + 6 = 0.448；
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因为 0.448 > 0.375，
所以小明更有机会进入面试环节．
17.(1)在△ 中，由 + 3 = 0 及正弦定理得 + 3 = ，
即 + 3 = sin( + ) = + ，
整理得 3 = + ，而 > 0，则 3 = 1 + ，
于是(1 + )2 = 3 2 = 3(1 cos2 )，整理得 2 2 + 1 = 0，
即(2 1)( + 1) = 0，而 0 < < 1，解得 = 2，
所以 = 3；
(2)( )由余弦定理得 3 = 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + )2 = 1 22 4 ( + ) ，
当且仅当 = = 3时取等号，因此 + ≤ 2 3，而 + > = 3，
则 3 < + ≤ 2 3，所以 2 3 < + + ≤ 3 3，
所以△ 周长的取值范围是(2 3, 3 3]；
( )由( )知 3 = 2 + 2 ≥ 2 = ，当且仅当 = = 3时取等号，
所以 ≤ 3，
因此 △ =
1
2 =
3
4 ≤
3 3
4 ，
所以△ 3 3面积的最大值为 4 ．
18.(1)证明：因为 ⊥底面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)根据题意建系如图：
则 (0,2,0)， (2,2,0)， (2,0,0)， (0,0,3)，
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所以 = (2,0,0), = ( 2, 2,3), = (0, 2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 2 + 3 = 0 ，即 2 = 0 ，取 = (3,0,2)， = 0

所以点 到平面 的距离为 = | | 6 6 13| ．| = 13 = 13
19.(1)因为 ⊥ ， ⊥ ， ， 为垂足，记 = ， = ，
又因为 = ，可得 为角 的角平分线，
因为∠ = 60°，所以∠ = ∠ = 30°，
因为 = + ，
1 3 1 1 1 1
所以2 × 2 × 3 × 2 = 2 × 3 × × 2 + 2 × 2 × × 2，
= 6解得 5 3；
(2)因为 + = ， = 2，
= 3 所以 4 2， =
4 2，
因为 + = 2 ，由正弦定理可得： + = 2 ，
即 sin( 3 4

2 ) + sin(

4

2 ) = 2 ，
2
即 2 cos
2 2
2 + 2 sin 2 + 2 cos 2
2
2 sin

2 = 2 ，

即 2cos 2 = 4 2 cos 2，
cos ≠ 0 sin 2因为 2 ，所以 2 = 4 ，
2 3
可得 = 1 2 2 2 = 1 2 × (
2
4 ) = 4，
= 1 cos2 = 1 9 716 = 4 ，
在△ 中， = 2 + 2 2 × cos( ) = 1 + 4 2 × 2 × 1 × ( 34 ) = 2 2，
= 2 2 8 14所以 sin( ) = 7 = 7 ；
4
(3)证明：因为 = 2 + 2 2 ( ) = 2 + 2 2 ( + ) =
2 + 2 2 ( )
= 2 + 2 2 + 2
= 2(sin2 + cos2 ) + 2(sin2 + cos2 ) 2 + 2
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= ( + )2 + ( )2 ≥ + ，
= ≥ + 所以 sin( ) ，当且仅当 = 时等号成立，
≥ + 同理 ，当且仅当 = 时等号成立，
≥ + ，当且仅当 = 时等号成立，
+ + ≥ + + + + 所以 + ，
+
因为 +
+ +
+
= ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 2 + 2 + 2 ，
当且仅当 = = 时等号成立，
所以 + + ≥ 2( + + )，当且仅当 = = 且 = = 时，等号成立．
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