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2024-2025 学年青海省海南州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一项工作可以用两种方法完成，有 6 人只会用第一种方法完成，另有 11 人只会用第二种方法完成，现从
中选出 1 人来完成这项工作，则不同选法的种数为( )
A. 60 B. 66 C. 16 D. 17
2.已知{ }为等差数列，且 1 = 18， 5 = 6，则{ }的公差为( )
A. 72 B.
5
2 C. 3 D. 2
3.已知某批零件的直径 (单位：毫米)服从正态分布 (10, 2).若 (9 ≤ ≤ 11) = 0.7，则从这批零件中任意
抽取 1 个零件，该零件的直径大于 11 毫米的概率为( )
A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175
4.曲线 = 2 + 在 = 0 处的切线斜率为 2，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 12
5.(2 + 3 )6的展开式的第 4 项的系数是( )
A. 46 × 22 × 34 B. 3 36 × 2 × 33 C. 3 4 4 26 D. 6 × 2 × 3

6.用最小二乘法得到的一组数据( , )( = 1,2,3,4,5,6,7)的经验回归方程为 = 3 5.若
7
=1 = 21，则
7 =1 =( )
A. 63 B. 21 C. 28 D. 49
7.若函数 ( ) = 2 (2 + 6 ) 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. [4, + ∞) B. [ 4, + ∞) C. [2, + ∞) D. [ 2, + ∞)
8.如图，正方形 的边长为 4，取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 2 个正方形 ，然后
再取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 3 个正方形 .如果这个作图过程可以一直继续下去，那么
这些正方形的面积之和将趋近于( )
A. 32
B. 40
C. 48
D. 64
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 的分布列为
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1 2 4 5
0.2 0.35 0.15 0.3
下列结论正确的是( )
A. ( ) = 3.5 B. ( ) = 3 C. ( ) = 2.5 D. ( ) = 2
10.已知函数 ( )的导函数 ′( )的大致图象如图所示.下列结论正确的是( )
A. ( )在( ∞, 1)上单调递增
B. ( )在( 1,3)上单调递增
C. ( )既有极大值，也有极小值
D.曲线 = ( )在 = 1 处的切线斜率为 3
11.若(2 + 1)18 = 0 + 1( + 1) + 2( + 1)2 + + 18( + 1)18，则( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 18 = 0
18
C. 0 + 2 + 4 + + =
3 1
18 2 D.
18
18 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知随机变量 服从两点分布， ( = 1) = 0.56，则 ( = 0) = ______．
13.某校举办运动会，甲参加跑步比赛、跳绳比赛(这两个比赛不能同时参加)的概率分别为 0.6，0.4，若甲
参加跑步比赛获奖的概率为 0.7，参加跳绳比赛获奖的概率为 0.6，则甲获奖的概率为______．
14 1 5.已知函数 ( ) = 3
2 3 22 + 6 的极小值点为 1，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
为了研究高二学生的性别与身高是否大于 165 的关联性，现随机调查了某中学的 80 名高二学生，整理得
到如下列联表：
男 女 合计
不低于 165 30 25 55
低于 165 10 15 25
合计 40 40 80
(1)依据 = 0.1 的独立性检验，能否认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165 有关联？
(2)从身高不低于 165 的 55 名学生中任选 2 人，求这 2 人性别不同的概率．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 1， ， 成等比数列．
(1)求 1， 2；
(2)求{ }的通项公式；
(3)若 =
1
，求数列{ }的前 项和 ． +1
17.(本小题 15 分)
3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人，第二排站 4 人．
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人)，求不同的排法种数．
18.(本小题 17 分)
为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置 4
道题，参加比赛的同学从第 1 题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第 ( = 1,2,3,4)题对应 2 1
分，答对获得相应的分数，答错得 0 分.②方案二：共设置 4 道题，参加比赛的同学从第 1 题开始答题，无
论是否答对都可以回答下一题，直到 4 道题答完为止，每题 2 分，答对获得相应的分数，答错得 0 分.已知
2
小明答对每道题的概率均为3，且每次回答正确与否都相互独立．
(1)若小明选择方案一，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由．
19.(本小题 17 分)
我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数 = ( , )，若实数 ， ( ≠ )满足
( , ) = ( , )， + > 0，则称 ( , )具有性质 .已知二元函数 ( , ) = ( + 1)．
(1)若 ( , ) ≥ + 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明：当 > 0 时， ( , ) ≥ + + + 1；
(3)已知实数 ， ( ≠ )满足 ( , ) = ( , )，证明： ( , )具有性质 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.44
13.0.66
14.3
2
15.(1) 80×(30×15 10×25) 16根据题意可知， 2 = 40×40×25×55 = 11 ≈ 1.455 < 2.706，
所以不能认为该中学高二学生的性别与身高是否大于 165 有关联；
(2)从身高不低于 165 的 55 名学生中任选 2 人，
1 1
若 2 人的性别不同，即 2 人中 1 男 1 女，则这 2 人性别不同的概率 = 30 25 50
2
= ．
55 99
16.(1)由 1， ， 成等比数列，
得 2 = ，
所以 1 = 1 = 1， 2 = 2 1 = 3．
(2)当 ≥ 2 时，由 = 2 ，可得 1 = ( 1)2，
相减可得 = 1 = 2 1，
上式对 = 1 也成立，
所以 = 2 1．
(3) = 1 = 1 = 1 ( 1 1 +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
)，
可得 =
1
2 (1
1 1 1 1
3 + 3 5 + . . . + 2 1
1 1
2 +1 ) = 2 (1
1
2 +1 ) = 2 +1．
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17.(1)3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人，第二排站 4 人．
又数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，
则不同的排法种数为： 33 44 = 6 × 24 = 144．
(2)根据题意，分甲、乙站在第一排和第二排两种情况：
①甲、乙站在第一排：
选 1 人在甲、乙中间： 15，
甲、乙二人插空排法： 22，
第二排 4 人全排： 44，
15 22 44 = 5 × 2 × 24 = 240，
②甲、乙站在第二排：
选 2 人与甲、乙站在第二排： 25，
甲、乙二人插空排法： 23，
第一排 3 人全排： 33，
25 2 2 32 3 3 = 10 × 2 × 6 × 6 = 720，
所以总共排法为：240 + 720 = 960．
(3)利用间接法：语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人) =总排法 语文小组成员全在第二排．
即 7 37 3 44 = 5040 144 = 4896．
18.(1)由题意， 的可能取值为 0，1，4，9，16．
所以 ( = 0) = 1 2 = 1 2 2 23 3， ( = 1) = 3 × (1 3 ) = 9，
( = 4) = ( 23 )
2 × (1 23 ) =
4
27， ( = 9) = (
2
3 )
3 × (1 23 ) =
8
81，
( = 16) = ( 2 )4 = 163 81，
所以 的分布列：
0 1 4 9 16
1 2 4 8 16
3 9 27 81 81
(2)由(1)可知若小明选择方案一，
1 2
则 ( ) = 0 × 3 + 1 × 9 + 4 ×
4 + 9 × 8 + 16 × 16 = 39427 81 81 81．
若小明选择方案二，记 为小明的累计得分， 为小明答对题目的数量，则 = 2 ，
又 ～ (4, 23 )，所以 ( ) = 4 ×
2
3 =
8
3，
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16
则 ( ) = 2 ( ) = 3．
因为 ( ) > ( )，所以小明应选择方案二．
19.(1) ( , ) = ( + 1)，根据 ( , ) ≥ + ，可得 ≤ ( , ) ，
令函数 ( ) = ( , ) = ，那么导函数 ′( ) = ( + 1) ．
令导函数 ′( ) = ( + 1) > 0，得 > 1，令导函数 ′( ) = ( + 1) < 0，得 < 1，
因此函数 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
因此 ( ) 1 = ( 1) = ，
1
因此 ≤ ，即实数 的取值范围为( ∞,
1
]．
(2)证明： ( , ) ( + + + 1) = ( + ) 1 = + ( + ) 1，
令 + = ，函数 ( ) = 1，那么导函数 ′( ) = 1，
令 ′( ) = 1 > 0，得 > 0，令 ′( ) = 1 < 0，得 < 0，
因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，在( ∞,0)上单调递减，
因此 ( ) = (0) = 0，
因此 1 ≥ 0，因此当 > 0 时， ( , ) ≥ + + + 1．
(3)证明：由于 ( , ) = ( , )，因此 ( + 1) = ( + 1)，
+1 = +1因此 ．
设函数 ( ) = +1 ，那么导函数 ′( ) = ，令 ′( ) = 0，得 = 0．
令 ′( ) < 0，得 > 0，令 ′( ) > 0，得 < 0，
因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，在( ∞,0)上单调递增，
取 < 0 < ，欲证 + > 0，即证 > > 0．
又由于 ( )在(0, + ∞)上单调递减，因此只需证 ( ) < ( )，
又由于 ( ) = ( )，因此也即证 ( ) < ( )，
构造 ( ) = ( ) ( )， ∈ ( ∞,0)，
那么等价于证明函数 ( ) < 0 对 ∈ ( ∞,0)恒成立．
导函数 ′( ) = ′( ) + ′( ) = ( 1 )，
1
由于 ∈ ( ∞,0)，所以 < ，因此导函数 ′( ) > 0，
那么函数 ( )在( ∞,0)上单调递增，
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所以 ( ) < (0) = 0，即已证明 ( ) < 0 对 ∈ ( ∞,0)恒成立，
故原不等式 + > 0 成立，即 ( , )具有性质 ．
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