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2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为虚数单位，则复数 = 1 + 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若一水平放置的正方形的边长为 2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
3.在正方体 1 1 1 1中，直线 和直线 1所成的角为( )
A. 6 B.

4 C. 3 D. 2
4.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是( )
A.数据中可能有异常值 B.这组数据是近似对称的
C.数据中可能有极端大的值 D.数据中众数可能和中位数相同
5.甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为 0.8，乙每次投中的概率为 0.7.若甲、乙两人各投篮一次，
且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为( )
A. 0.38 B. 0.44 C. 0.56 D. 0.62
6.在正四棱台 1 1 1 1中， = 4， 1 1 = 2，二面角 1 的平面角为 45°，则该正四棱
台的体积是( )
A. 20 B. 28 C. 28 3 D. 563 3 3 3
7.在四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， = 6， = 4， = 7，则异面直线 与 所
成角为( )
A. 12
B. 6
C. 4
D. 3
8.函数 ( ) = + 2 + 3 ，则 ( )在[0,2 ]内零点个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ 中，点 (1,2)， (2,0)， (3,2)分别为 ， ， 的中点，则( )
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A. = (1,2) B. = (1, 2)
C.点 的坐标为(2,4) D. △ 的面积为 4
10.袋子中有 6 个大小、质地完全相同的球，其中 3 个红球、3 个黄球，从中任取 3 个球，设事件 =“取
出的 3 个球至少有一个红球”， =“取出的 3 个球至多有一个红球”， =“取出的 3 个球既有红球又有
黄球”， =“取出的 3 个球全是红球”，则( )
A.事件 与 互斥 B.事件 与 互为对立事件
C.事件 与 相互独立 D.事件 与 相互独立
11.已知△ 内接于圆 ， = = 4，设 = + ( , ∈ )，则( )
A. = 8 B.若 = 1 724，则圆 的面积为 5
C.若 + = 1，则圆 的面积为 8 D.若 4 + 3 = 2，则 = 2 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若复数 满足| + | = 1，则| |的最大值为______．
13 2.甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是3，乙队每
1
轮投中的概率为2 .在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动
中投中 1 个球的概率为______．
14.已知三棱锥 ，满足 = = = = 3， = 2 = 2，则三棱锥 的外接球的表
面积等于______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

在边长为 1 的菱形 中，∠ = ， 3 = 2
，设 = ， = ．
(1)用 ， ，表示 ，并求| |；
(2)若 = ， ⊥ ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如
下表所示：
参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 6 人 4 人
未参加环境保护知识宣讲 5 人 30 人
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(1)从该班随机选取 1 名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；
(2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的 6 名学生中，有 4 名男生和 2 名女生.现从这 6
名学生中随机选取 2 人作为主讲人，求选取的 2 人中恰有 1 名男生和 1 名女生的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ， = = 1， = 2, = (0 < < 1)．
(1)当 //平面 时，求实数 的值；
(2)当 = 12时，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，2 = 2 ， = 2．
(1)求 ；
(2)若 为 中点，且 = 7，求△ 的周长；
(3)若△ 是锐角三角形，求△ 面积的取值范围．
19.(本小题 17 分)
点 ， 分别是边长为 6 的正方形 的边 ， 的中点，沿图 1 中的虚线 ， ， 将△ ，△ ，
△ ，折起使 ， ， 三点重合，重合后的点记为点 ，如图 2．
(1)顶点 在平面 内的正投影为点 ，点 在平面 的正投影为点 ，连接 并延长交 于点 证明：
是 的中点；
(2)作出点 在平面 上的正投影 (说明做法的理由)并求四面体 的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.12
14.9 2
15.(1) 已知在边长为 1 的菱形 中，∠ = ， 3 = 2 ，
又 = ， = ，
则 = + = 1 3 =
13 ．
| | = | | = 1 ∠ = 因为 ， 3，
所以 = 12，
2
则 = ( 1 )2 =
2
2 + 1 2 = 73 3 9 9，
所以| | = 73 ；
(2)因为 = = ，
所以 = + = + ，
因为 ⊥ ，
所以 = 0，
所以( + ) ( 13 +
) = 0，
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1即 2 1 +
2
3 3 +
= 0，
1
解得 = 5．
16.(1)由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：6 + 4 + 5 = 15，
班级学生总数为 15 + 30 = 45．
15 1
因此，该学生至少参加一项活动的概率 = 45 = 3；
(2)设 4 名男生分别为 ， ， ， ；2 名女生分别为 ， ，
记这 6 名学生中随机选取的 2 人为 1和 2，则可用( 1, 2)表示样本点，
样本空间 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )}，
所以 ( ) = 15，
记事件 =“选取的 2 人中恰有 1 名男生和 1 名女生”，
则 = {( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，
所以 ( ) = 8，
因为 中每一个样本点的可能性都相等，
( ) 8
所以 ( ) = ( ) = 15．
17.(1)如图：连接 交 与点 ，连接 ．
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
因为底面 为矩形，所以 为 中点，
所以 为 中点，所以 = 1 2 ，
1
所以 = 2．
(2)当 = 12时，取 中点 ，连接 ， ．
因为 = = 1， = 2．
所以 = 5， = 1 5，2 = 2
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= 2 + 2 = 1 + 1 + 1 = 3．4 2
= 2 + 2 = 1 + 5 = 6．
在△ 中，由余弦定理得：
cos∠ =
2+ 2 2 4．
2 = 5
sin∠ = 3所以 5，
所以 1△ = 2 sin∠ =
1 5 3 3．
2 × 5 × 2 × 5 = 4
设 到平面 的距离为 ，
由 = ，
得： △ × 1 = △ ，
1 1
又 △ = 2 △ = 2．
1
所以 = 2 = 23 3．
4
设直线 与平面 所成的角为 ，
2
则 = =
3 6．
6 = 9
18.(1)因为 2 = 2 ，
由正弦定理得 2 = 2 ，
在△ 中， = sin( + )，
即 2 ( + ) = 2 ，
所以 2 + 2 = 2 ，
整理可得 2 = 0，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 2 1 = 0，得 = 12，
由 ∈ (0, ) ，得 = 3；
(2)因为 为 中点，
可得 2 = + ， = 7， = 2，
2 2 2
两边平方可得 4 = + + 2 = 2 + 2 + 2 ，
即 28 = 2 + 4 + 2 × 2 × 12，
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即 2 2 24 = 0，
解得 = 6(舍)或 = 4，
1
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 4 + 16 2 × 2 × 4 × 2 = 12，
所以 = 2 3，
所以△ 的周长为 + + = 2 3 + 2 + 4 = 2 3 + 6；
(3) △ 在 中，由正弦定理得 = ，
2 ( +
所以 = = 3
) + 3 3
= = 1 + ，
1
所以 △ = 2 =
1
2 2(1 +
3 3 3 3
) 2 = 2 (1 + )
0 < < 2
根据题意得 ，解得 < < ，
0 < = 2 3 <

2 ,
6 2
所以 ∈ ( 33 , + ∞)
3
，所以 ∈ (0,3)，
所以 1 + 3 ∈ (1,4)，
所以 △ =
3
2 (1 +
3
) ∈ (
3
2 , 2 3)，
所以△ 的取值范围是( 32 , 2 3)．
19.(1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，又△ 是等腰直角三角形， ⊥ ，∴ 是 的中点；
(2)解：在平面 内过 点作 的平行线，与 交于 ，即 ⊥ ，则 是 点在平面 的正投影，即
⊥平面 ，理由如下：
由条件知： = 6 = = 3 ⊥ ∴ = 3 2, ⊥ , = = 1 = 3 2， ， ， 2 2 ，
= 2 + 2 = 3 5， = 2 2 = 9 22 ，∴
2 = 2 + 2，
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即 ⊥ ，由(1)的分析知： ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，即 点在平面 的正投影是 ，
连接 ， 如上图，
△ 1在 中，2 =
1
2 ，∴ = 2， =
2 2 = 22 ，
△ 1 1 2在 中， 22 = 2 , = 3，∴ =
2 = 4 23 ，
在 △ 中， = = 43，
∴ 1△ = 2 =
8
9 ,
1
= 3 △ =
16
81；
16
综上，四面体 的体积为81．
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