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2024-2025 学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | < 2}， = { | = 2 + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. (0,2) B. (0,2] C. [1,2) D. (1,2)
2.甲乙丙三名同学分别从 ， ， ， 四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 64 种 D. 81 种
3.若随机变量 ～ (2, 2)，且 ( < 1) = 0.3，则 (2 < < 3) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
4.已知函数 ( ) = ′(1) + + 2，则 ′(1) =( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
5.设 ∈ ，且 0 ≤ ≤ 8，若22025 + 能被 9 整除，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 7 D. 8

6.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为 = 2 + 8，且 = 3.发现有两对数据(1.7,1)与(4.3,3)误差较

大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为 = 1.8 + ，则 =( )
A. 2 B. 1.6 C. 7.4 D. 0.8
7.某地下车库有 8 个连在一排的车位.现有 6 辆不同型号的车需要停放，若其中 ， ， ，3 辆车相邻停放，
另 3 辆车也相邻停放，但这 6 辆车不停放在一起的不同停放种数为( )
A. 72 B. 144 C. 216 D. 432
8.已知函数 ( ) = 1 + 1，若 ( ) + ( ) = 2，则 + 2 的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(3 + )(2 1)8 = 2 + + 2 + + 91 2 9 ，则下列说法正确的是( )
A. = 2 B. 1 + 2 + + 9 = 5
C. 1 = 32 D.
1 + 2 32 22 23 +
9
29 = 126
10.已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ， ( + 1)是奇函数，且满足 (1 ) + ( ) = 4， ( 3) + ( ) =
4 + ( ) = 4，则( )
A.函数 ( )的图象关于点(1,0)对称 B.函数 ( )的图象关于直线 = 1 对称
C.函数 ( )是周期为 4 的函数 D. 2025 =1 ( ) = 1
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11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1( , ∈ )，则下列说法正确的有( )
A.若 0是 ( )的极小值点，则 ( )在( ∞, 0)上单调递减
B.当 = 1 时，若 ( )在 上单调递减，则 ≤ 1
3
C.当 = 0 时，若 ( ) 3 2有 3 个零点，则 的取值范围为( ∞, 2 )
D.若不等式 ( ) > 1 的解集为{ | < 2，且 ≠ 1}，则 ( )图象的对称中心为(0,1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 , > 0.已知函数 ( ) = 22 1, ≤ 0，若 ( ) = 1，则 =______．
13.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，若 ( ) = 3 且 ′( ) < 1，则不等式 ( 3)
3 > 2 的解集为______．
14.若数列{ }不是等差数列，但 ∈ 使得 + +2 = 2 +1，那么称数列{ }为“局部等差数列”.若从
集合{2,4,6,8,10}中依次抽取 4 个数构成一个数列{ }，则数列{ }为局部等差数列的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
网购已成为现代生活的一种重要购买方式.某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查
2
问卷后回收 200 份有效问卷，经统计发现有 30%的人购买该商品，在这些购买者中女性占3，而在未购买
者中男性与女性各占 50%．
(1)完成下表，并依据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关；
男性 女性 合计
已购买 40 60
未购买
合计 200
2
附：参考公式与数据： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
(2)若此款商品有 ， ， 三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取 4 人实行买一赠
一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这 4 人中有且仅有 2 人获赠同一型号商品的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )， ∈ ．
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(1)当 = 1 时，求 ( )在[0, 2 ]上的值域；
(2)若曲线 = ( )在点(0, (0)) 1处的切线与坐标轴围成的图形面积为6，求 的值．
17.(本小题 15 分)
某 4 名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为 ．
(1) 4 = 1设 名射击手击中目标的人数为 ，当 3时，求 的数学期望与方差；
(2) +1若目标被一人击中不会被摧毁，被 2 人击中而被摧毁的概率为3，被 3 人击中而被摧毁的概率为 2 ，被
4 1 1人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为 ( )，当3 ≤ ≤ 2时，求 ( )的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)函数 ( ) = 2 ( ) 2，若 ( ) ≤ 0 对 ∈ [0, + ∞)恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： 2 1 =1 2 < 2 ( + 1)( ∈
)．
19.(本小题 17 分)
一个不透明的盒子里有质地、大小相同的 8 个小球，其中 2 个红球、6 个黑球，不放回地从盒子里依次随
机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球．
(1)求停止摸球时盒子里恰好剩下 4 个黑球的概率；
(2)停止摸球时，记总的摸球次数为 ，求 的分布列与数学期望；
(3)若将这 8 个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有 1 个红球、3 个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球
交换放入另一袋中，重复 ( ∈ +)次这样操作后，设甲袋子中恰有 1 个红球的概率为 ，求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0 1或2
13.(0, 3 )
14.15
15.(1)根据题意可得补全后的列联表如下：
人数 男性 女性 合计
已购买 20 40 60
未购买 70 70 140
合计 90 110 200
零假设为 0：购买该款商品与性别无关，
2 = 200(20×70 40×70)
2
因为 90×110×60×140 ≈ 4.714 > 3.841，
所以依据小概率 = 0.05 的独立性检验可以推断 0不成立，
即购买该款商品与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 0.05；
(2)随机抽取 4 人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，
2 3 4
则这 4 人中有且仅有 2 人获赠同一型号商品的概率为 4 334 = 9．
16.(1)当 = 1 时， ( ) = ( + )，
∴ ′( ) = ( + ) + ( ) = 2 ，
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∵ ∈ [0, 2 ]，
∴ > 0，
∴ ′( ) > 0，故 ( ) 在[0, 2 ]单调递增，

又 (0) = 1, ( 2 ) = 2，
∴ ( )在[0, 2 ]上的值域为[1, 2]．
(2) ∵ ′( ) = ( + ) + ( ) = ( + + )，
∴ ′(0) = 0( 0 + 0 + 0 0) = + 1，
又 (0) = 1，
∴曲线 = ( )在点(0,1)处切线方程为 = ( + 1) + 1，
∴ 1切线与 轴交点为( +1 , 0)，
∴ 1 1 1切线与坐标轴围成的图形面积为2 × 1 × | +1| = 6，
∴ | + 1| = 3，解得 = 2 或 = 4．
17.(1) 1由题意可知， ～ (4, 3 )，
= = 4 , = (1 ) = 8所以 3 9；
(2) 依题意有 ( ) = 2 2 24 (1 ) 3 +
3 3 +1
4 (1 ) 2 +
4
4 4 = 3 4 + 4 3，
1
又因为3 ≤ ≤
1
2，
所以 ′( ) = 12 3 + 12 2 = 12 2(1 ) > 0，
所以 ( ) 1 1在区间[ 3 , 2 ]上单调递增，
1 1 1 5
所以 ( )的最大值为 ( 2 ) = 3 × (
4 3
2 ) + 4 × ( 2 ) = 16．
18(1) ( ) = ( + 1)的定义域为( 1, + ∞)，
( ) = 1 +1 又 ′ 1+ = +1 ( > 1)，由于 + 1 > 0，
当 1 ≤ 1，即 ≤ 0 时， ′( ) > 0， ( )在( 1, + ∞)单调递增；
当 1 > 1，即 > 0 时，
①当 ∈ [ 1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
②当 ∈ ( 1, 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
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综上：当 ≤ 0 时， ( )在( 1, + ∞)单调递增；
当 > 0 时， ( )在( 1, 1)单调递减；在( 1, + ∞)上单调递增；
(2) ( ) = 2 2 ( + 1) 2， ≥ 0，且 (0) = 0，
2
′( ) = 2 + 2 2 2(1 ) +1 = +1 ，
当 ≥ 1 时，1 ≤ 0， ′( ) < 0， ( )在[0, + ∞)上单调递减，
( ) ≤ (0) = 0，符合题意；
当 < 1 时，令 ′( ) = 0, = 1 ，
则 ∈ (0, 1 )时， ′( ) > 0， ( )在(0, 1 )上单调递增，
即当 ∈ (0, 1 )时 ( ) > (0) = 0，不符合要求，
综上： ≥ 1，即 ∈ [1, + ∞)；
(3)证明：由(2)知，当 = 1 时， 2 + 2 ≤ 2 (1 + )，
令 = 1 , = 1,2,3, , ，
1 + 2 = 2 1得 2 2 < 2
1+
, = 1,2, , ，
2 1 2累加得 =1 2 < 2(ln 1 + ln
3 + + ln +12 ) = 2 ( + 1)(证毕)．
19.(1)依题意停止时恰好取了 4 次，前 3 次为 2 个黑球 1 个红球，第 4 次为红球，
12
2 3
其概率为 6
3 3
4
= ；
8 28
(2)依题意 = 2，3，4，5，6，7．
2
当 = 2 1时， ( = 2) = 22 = 28； 8
1 1 2
当 = 3 时， ( = 3) = 2 6 23 =
2 = 1；
8 28 14
1 2 3
当 = 4 时， ( = 4) = 2 6 3 = 3；
48 28
= 5
1 3 4 4 1
当 时， ( = 5) = 2 6 4
5
=
8 28
= 7；
1 4 5 6
当 = 6 时， ( = 6) =
2 6 5+ 6 6
6 = 28 =
3
14； 8
1 5 6 1 1 6
当 = 7 时， ( = 7) = 2 6 6+ 2 6 6 12 3
7
= 28 =8 7
；
故分布列为：
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2 3 4 5 6 7
1 1 3 1 3 3
28 14 28 7 14 7
( ) = 2 × 1期望 28 + 3 ×
2
28 + 4 ×
3
28+ 5 ×
4
28 + 6 ×
6 12
28 + 7 × 28
= 1 + 6 + 3 + 514 28 7 7+
9 + 3 = 407 7；
(3)甲袋始终有 4 个小球，重复 ( ∈ )次这样操作后，
记甲袋子中恰有 2 个红球的概率为 ，恰有 0 个红球的概率为 1 ，
1 1 3 3 5则 1 = 4 × 4+ 4 × 4 = 8 , 1 =
3 × 1 = 34 4 16．
= ( 1 × 1+ 3 3 2 4 4 2 1 1 4 4 4 × 4 ) 1 + 4 × 4 1 + 4 × 4 (1 1 1) = 8 1 + 2． ≥ 2, ∈ ，
1 1 7 4
令 = 8 ( 1 ), = 8 1 + 8，因此 = 7，
{ 4 } 5 4 = 3 1因此数列 7 是以8 7 56为首项，公比为8的等比数列，
因此 = 3 ( 1 ) + 4 7 8 7 , ∈
+，当 = 1 时满足等式．
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