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2024-2025 学年贵州省贵阳市观山湖第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ，集合 = { | = 3 , ∈ }， = { | = 6 , ∈ }，则正确的关系是( )
A. ∪ = B. ∩ ( ) = C. ∪ ( ) = D. ∩ ( ) =
2.曲线 = 3 + 在 = 1 处的切线斜率为 2，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 0 D.
3.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了 100 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成
绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则
( )
A.图中 的值为 0.020
B.估计样本数据的众数值为 90
C.估计样本数据的第 80%分位数为 95
D.估计样本数据的平均数大于中位数
4 4
4.已知复数 = + ( , ∈ )，若| | = 1 ，则 2+1+ 2+2的最小值为( )
A. 1 B. 14 3 C.
1
2 D. 1
5.记 为等比数列{ }的前 项和.若
1
1 = 5 , 3 4 = 5，则 4 =( )
A. 39 B. 156 C. 395 D.
156
5
6.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 是该抛物线上一动点，且| |的最小值为 1，点 (2,3)，则| | +
| |的最小值为( )
A. 10 B. 4 C. 2 D. 2 10
7.下列说法中，正确的个数是( )
①已知变量 、 线性相关，其一组样本数据( , )( = 1,2, , 10)，其中10 10 =1 = 30， =1 = 90，用最小

二乘法得到的经验回归方程为 = 2 + ，则 = 3．
②根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 4.712，根据小概率值 = 0.05 的 2独立性检验
( 0.05 = 3.841)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.05．
③己知定义在 上的函数 ( )满足 ( 1) + (5 ) = 2， ( + 1)为偶函数，则 (2026) = 1．
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.把△ 1 2 3沿三条中位线折叠成四面体 ，其中 1 2 = 12， 1 3 = 10， 2 3 = 8，则四面体
的外接球表面积为( )
A. 77 B. 77 C. 77 D. 77 4 8 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知2 + = log2 + = 2，则( )
A. < 1 B. 2 > 14
C. log2 + log
1 1
2 ≥ 0 D. + > 2
10.对于函数 ( ) = 2 (3 + 4 ) +
1
2 ( ∈ )，有以下四种说法正确的是( )
A. 3函数的最小值是 2
B. 图象的对称轴是直线 = 3 12 ( ∈ )
C. 图象的振幅为 2，初相为4
D. [ 7 , 函数在区间 12 3 ]上单调递增
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 是线段 1上的动点，则
下列命题正确的是( )
A.异面直线 1 与 1所成角的大小为定值
B.三棱锥 1的体积是定值
C.直线 和平面 1 1所成的角的大小是定值
D.若点 是线段 上动点，则直线 与 1 不可能平行
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12
2
.双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过 1的直线 交双曲线的两支于 ， 两点，
△ 2为等边三角形，则双曲线的离心率为______．
13.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农
场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生相邻且农场主站在中间的概率等于______(用数字作答)．
14 1.已知 ( ) = + + 2， ( ) = 2 2 1 + ，若存在 1 ∈ ， 2 ∈ ( 1, + ∞)，使得 ( 1) ≤ ( 2)
成立，则实数 的取值范围是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2, 2 +1 = 2 + 3( ∈ )，等比数列{ }的前 项和为 ，且
+1 = + 2( ∈ )．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = = = 2， = 4， ， 分别为
棱 ， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求证： //平面 ；
(3)求二面角 的正弦值．
17.(本小题 15 分)
某电视台综艺节目举行闯关答题的活动，具体规则如下：
(1)第一关，有三个必答问题，至少答对两个问题参与者就可以过关；
(2)进入第二关，还有三个问题，参与者只要连续答对两个题目就可以获得奖品，并终止答题，如果参与者
连续答错两个题也终止答题没有奖品.只要没有出现连对或者连错的情况，答题就不终止，直到答完这三个
. 2问题已知红星中学的李华同学参加了这个活动，并且李华同学答对第一关每一个问题的概率都是3，答对第
3 1 1
二关三个问题的概率依次为4，2，3，请问：
(1)李华同学可以闯过第一关的概率是多少？
(2)李华同学进入第二关后，她可以获得奖品的概率是多少？
(3)设李华同学结束此次活动后，两关加一起共答对 个题目，请列出 的分布列并求数学期望．
18.(本小题 17 分)
19 世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的
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蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日
圆的半径为 2 + 2( 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长).已知椭圆 上任一点到点( 2, 0)的距离与
3 2 6
到直线 = 2 的距离之比为 3 ，椭圆 的蒙日圆为圆 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 为坐标原点，点 是椭圆 上的任意一点， 1， 2是椭圆左右焦点，直线 与圆 相交于 ，
| | | |
两点，求证：| | 1 | |
是定值；
2
(3)过点 (1,0)作直线 1交圆 于 、 两点，作直线 2交椭圆 于 、 两点，且 1 ⊥ 2，求四边形 面积的
最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)， ( ) = ，其中 ∈ ．
(1)证明：当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) ≤ 0；
(2)若 > 0 时， ( )有极小值，求实数 的取值范围；
(3)对任意的 ∈ [0, ]，2[ ( ) 1] ≥ ′( )恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13. 4105
14.[ 2, + ∞)
15.(1)由等差数列{ }的前 项和为 ，且 4 = 4 2, 2 +1 = 2 + 3( ∈ )，
4 + 6 = 4(2 + ) = 2 = + 2 = 2 + 3 = 2 3 = 1可得 11 1 ，即 1，又 3 1 1 ，即 1 ，解得 = 2 ．
所以 = 1 + ( 1) × 2 = 2 1．
在等比数列{ }中，当 ≥ 2 时，由 +1 = + 2( ∈ )，可得 = 1 + 2，
相减可得 +1 = ( + 2) ( 1 + 2) =
+1
，得 = 2，
当 = 1 时，2 1 = 1 + 2，解得 1 = 2， = 2，
所以 = 2 ．
(2)因为 = = (2 1)2 ，
所以 2 3 = 1 × 2 + 3 × 2 + 5 × 2 + + (2 1) × 2 ，①
2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + + (2 1) × 2 +1，②
① ②得 = 2 + 2 × 22 + 2 × 23 + + 2 × 2 (2 1) × 2 +1
23 +1= 2 + 2×21 2 (2 1) × 2
+1 = (3 2 )2 +1 6，
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解得 = (2 3)2 +1 + 6，
所以 = (2 3)2 +1 + 6．
16.解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， 面 ，则 ⊥ ，
又 // ， ⊥ ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)证明：设 ∩ = ，连接 ， ，
因为 = 2， = 4， // ， 是 的中点，
所以 // ，且 = ， ⊥ ，
则 为正方形，所以 为 中点，
又 是 的中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(3)由(2)知 ⊥ ，又 是 中点，则 = ，
又 = 2 2, = 4，所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，则∠ 为二面角 的平面角，
在 △ 中， = 2， = 2 2， = 2 + 2 = 2 3，
所以 sin∠ = 2 = 2 3 =
3
，
3
故二面角 的正弦值为 3．
3
17.解：(1)李华答对 2 题或 3 题，即可闯过第一关，
2 1 2 20
所以李华同学可以闯过第一关的概率 = 23 × ( )23 × 3 + ( )
3
3 = 27．
(2)李华答对第 1，2 题，或是第一题错，2，3 题答对，即可获得奖品，
3 1 1 1 1
所以李华获得奖品的概率 = 4 × 2 + 4 × 2 × 3 =
5
12．
(3)第一关答题数为 3，若能进入第二关，则答题数目为 2 或 3，
则 = 0，1，2，3，4，5，
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所以 ( = 0) = ( 1 33 ) =
1
27；
( = 1) = 1 2 1 2 23 × 3 × ( 3 ) = 9，
( = 2) = 23 × (
2
3 )
2 × ( 13 ) ×
1 × 1 = 14 2 18，
( = 3) = ( 2 )3 × 1 × 1 + 2 × ( 2 )2 × 1 × ( 3 × 1 × 2+ 1 × 1 2 53 4 2 3 3 3 4 2 3 4 2 × 3 ) = 27，
( = 4) = 2 × ( 2 )2 × 13 3 3 × (
3 1 3 1 1 1 1 1 2 3 3 1 2 1 1 2 55
4 × 2 + 4 × 2 × 3 + 4 × 2 × 3 ) + ( 3 ) × ( 4 × 2 × 3+ 4 × 2 × 3 ) = 162，
( = 5) = ( 2 )3 × ( 3 × 1 3 1 1 1 1 1 133 4 2+ 4 × 2 × 3+ 4 × 2 × 3 ) = 81，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 2 1 5 55 13
27 9 18 27 162 81
( ) = 0 × 127 + 1 ×
2
9+ 2 ×
1
18 + 3 ×
5
27 + 4 ×
55 13 247
162 + 5 × 81 = 81．
18.(1)设 ( , )，
因为椭圆 上任一点到点( 2, 0)的距离与到直线 = 3 2的距离之比为 6，2 3
所以 ( 2)2 + 2 = 6 | 3 2 ，3 2 |
整理可得
2
+ 23 = 1，
2
则椭圆 的方程为 + 2 = 1；3
(2)证明：由(1)得该椭圆 的蒙日圆 为 2 + 2 = 4，
设 ( 0, 0)，
因为点 在椭圆上，
2
所以 2 00 = 1 ，3
又 1( 2, 0)， 2( 2, 0)，
2
所以| 1| = ( 20 + 2) + 20 = ( + 2)2 + 1
0 = 2 20 3 3 0 + 2 2 0 + 3 = 3 +
6 ，
3 0
同理得| 2| = 3
6
3 0，
2
所以| 1| | 2| = 3 3
2
0，
| | | | = (2 + | |) (2 | |) = 4 | |2 = 4 20 20 = 4 20 (1
1
3
2
0) = 3
2
3
2
0，
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| | | |可得| 2| | |
= 1，
2
| | | |
则| | | |是定值，定值为 1；1 2
(3)①当直线 1斜率不存在， 2斜率为 0 时，
此时直线 1方程为 = 1，
因为原点 到 1的距离为 1 = 1，
所以| | = 2 4 21 = 2 3, | | = 2 3，
则四边形 1面积 = 2 | | | | = 6；
②当 1斜率存在， 2斜率不为 0 时，
设直线 2的方程为 = + 1，
可得 1的方程为 = ( 1)，
| |
此时原点到 1的距离为 1 = 2 ， +1
2 2
所以| | = 2 4 21 = 2 4
= 2 3 +4． 2+1 2+1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 1
联立 2 2 ，消去 并整理得(
2 + 3) 2 + 2 2 = 0，
3 + = 1
因为点 (1,0)在椭圆 内部，
所以直线 2与椭圆 必相交，
1 + 2 =
2
2由韦达定理得 +3 2 ， 1 2 = 2+3
所以| | = 1 + 2| 1 | = 1 + 2 ( + )22 1 2 4 1 2
2 3(1+ 2)( 2 +2)
= 1+ 2
2 2
( 2 2 +3 ) 4 2 +3 = 2 +3
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因为 1 ⊥ 2，
2 2
所以四边形 2 3( +1)( +2)面积 2 = 12 | | | | =
3 +4
2+1 2+3
2 3(3 2+4)( 2+2)
= = 2 3(3
2+4)( 2+2)，
2+3 ( 2+3)2
令 = 2 + 3( ≥ 3)，
此时 2 = 3，
所以 = 1 | | | | = 2 3(3 5)( 1) 3
2 8 +5 5 8
2 2 = 2 3 2 = 2 3 2 + 3 = 2 3 5(
1 4 )2 5
1，
5
因为 ≥ 3，
1 1
所以 ∈ (0, 3 ],
= 1令 ，
1
此时 ∈ (0, 3 ]单调递减，
所以当 = 13时， =
4 6．
3
则四边形 的最小值为4 6．
3
19.(1)证明：因为 ( ) = ，因此 ′( ) = 1 ≤ 0 对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，
可知 ( )在[0, + ∞)内单调递减，因此 ( ) ≤ (0) = 0，
所以当 ∈ [0, + ∞)时， ( ) ≤ 0．

(2) ′( ) = ( +1) +1 = +1 ，
令 ( ) = ( + 1) ， > 0，因此 ′( ) = ( + 2) > 0 对任意 > 0 恒成立，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，因此 ( ) > (0) = 1 ，
当 1 ≥ 0，因此 ≤ 1 时，因此 ( ) > 0 对任意 > 0 恒成立，因此 ′( ) > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，无极值，不合题意；
当 1 < 0，因此 > 1 时，因此 ( )在(0, + ∞)内存在唯一零点 0 > 0，
当 0 < < 0时， ( ) < 0，因此 ′( ) < 0；当 > 0时， ( ) > 0，因此 ′( ) > 0；
可知 ( )在(0, 0)内单调递减，在( 0, + ∞)内单调递增，
可知 ( )存在极小值 ( 0)，符合题意；
因此实数 的取值范围为(1, + ∞)．
(3)令 ( ) = 2 ( ) ′( ) 2 = 2 2 ( + 1) 1， ∈ [0, ]，
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因此 ′( ) = 2 2 +1 + ，
原题意等价于 ( ) ≥ 0 对任意 ∈ [0, ]恒成立，
且 (0) = 0，因此 ′(0) = 2 2 ≥ 0，解得 ≤ 1，
≤ 1 ∈ [0, ] 2 若 ，因为 ，因此 2 ≥ 2, +1 ≥ 2, ≥ 0，
2
因此 ′( ) = 2 +1 + ≥ 0，
可知 ( )在[0, ]内单调递增，因此 ( ) ≥ (0) = 0，
因此实数 的取值范围为( ∞,1]．
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