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2024-2025 学年甘肃省多校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 3 1 在区间[2,4]上的平均变化率为( )
A. 28 B. 14 C. 28 D. 56
2.已知随机变量 (4, 2)，且 ( < 5) = 0.8，则 (3 < < 4) =( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
3.已知函数 ( ) = 2 ，则 ′( 4 )的值为( )
A. 3 22 B.
2 2 3 2
2 C. 2 D. 2

4.已知变量 ， 的部分数据如下表，由表中数据得 ， 之间的经验回归方程为 = 0.8 + ，现有一测量数
据为(35, )，若该数据的残差为 1.2，则 =( )
21 23 25 27
15 18 19 20
A. 25.6 B. 28 C. 29.2 D. 24.4
5.在棱长为 1 的正四面体 中， =( )
A. 1 B. 12 C. 0 D. 1
6.以 ， 分别表示某山区两个村庄居民某一年内家里停电的事件，若 ( ) = 0.2， ( ) = 0.1， ( | ) +
( | ) = 0.75，则这两个村庄同时发生停电事件的概率为( )
A. 0.03 B. 0.04 C. 0.06 D. 0.05
7.若直线 = 与曲线 = 相切，则 =( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
8.在正三棱锥 中， = = 3，点 满足 = + + (2 ) ，则 的最小值为( )
A. 4 65 B. 6 C.
6 6
5 D. 2 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量 = (1,2,3), + 2 = ( 3,0,5), = (2,4, )，且 // ，则下列说法正确的是( )
A. | | = 6 B. = 6
C. (2 + ) ⊥ D. cos , = 2142
10.下列说法中正确的是( )
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A.若 ( ) = 2 2 33， ( ) = 5，则 ( | ) = 5
B. 1已知随机变量 满足 ( ) = 4， ( + 1) = 1，则 = 2
C.已知随机变量 ， 满足 = 3 ， (2 1) = 5，则 ( ) = 9
D. 9从 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数中任取 3 个不同的数，则这 3 个不同的数的中位数为 4 的概率为35
11 .已知函数 ( ) = ，下列说法正确的是( )
A. ( )在 = 处的切线方程为 = B.函数 ( )的单调递减区间为(0, )
C. ( )的极小值为 D.方程 ( ) = 3 有 2 个不同的解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知在空间直角坐标系 中，点 的坐标为(1,2, 3)，点 的坐标为(0, 1, 4)，点 与点 关于 轴对
称，则| | =______．
13.某社区居民计划暑假去海南或厦门旅游，经统计得到如下列联表：
去海南旅游 去厦门旅游 合计
老年人 2 3 5
中年人 3 2 5
合计 5 5 10
若依据小概率值 = 0.01 的独立性检验认为去海南还是厦门旅游与年龄有关，则正整数 的最小值为
______．
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + ) , = + + + ．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828

14.设 ， 1 3 9是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 4， ( | ) = 5， ( | ) = 10，则 ( ) =______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限 (单位：年)和所支出的维修费用 (单位：万
元)的有关资料如下表所示：
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使用年限 /年 2 3 4 5 6
维修费用 /万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

(1)求线性回归方程 = + 的系数 ， ；
(2)估计当使用年限为 8 年时，维修费用是多少．

= + = =1 ( )( )

参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 2 ， = ． =1 ( )
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 2 + 3) ( ∈ )．
(1)若 ( )在 = 1 处取得极值，求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )在区间( 2,1)上单调递增，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 4， = 2， =
1
4
．
(1)证明： ⊥平面 1 ；
(2)求直线 1 与平面 1所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人，它不仅是一种娱乐活动，更是一种充满策略与技巧的挑战.已
1 1
知某游戏厅有 ， ， 三台抓娃娃机， 娃娃机每次中奖的概率为6， 娃娃机每次中奖的概率为4， 娃娃机
1
每次中奖的概率为3，中奖结果与否互不影响．
(1)若小张分别操作 ， ， 抓娃娃机各一次，求小张中奖的概率；
(2)已知小张准备抓娃娃三次，现有两种方案供选择：
方案一：操作 ， ， 抓娃娃机各一次；
方案二：操作 抓娃娃机三次．
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假设 ， ， 三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值为 20 元，请根据获得娃娃价值的期望，分析小张选择
哪种方案较合适．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 4 + 2 ( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 = 2，证明： ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 51
13.17
14.12
15. (1) 1 1解： 由表中数据可得， = 5 × (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4， = 5 × (2.2 + 3.8 + 5.5 + 6.5 + 7) = 5，
5

( )( ) 12.3
由最小二乘法公式可得， = =1 5 2 = 10 = 1.23， = = 5 1.23 × 4 = 0.08． =1 ( )

(2)回归直线方程为 = 1.23 + 0.08，

当 = 8 时， = 1.23 × 8 + 0.08 = 9.92，
故估计当使用年为 8 年时，维修用是 9.92 万元．
16.解：(1) ∵ ′( ) = ( 2 + 3) + 2 = ( 2 + 2 + 3 ) ，
1
∴ ′(1) = ( + 2 + 3 ) = 0 1，解得 = 2，则 ( ) = (
2 + 3) 2 ，
1
∴ ′( ) = ( 12
2 + 2 3 2 2 ) ，
令 ′( ) > 0，解得 < 1 或 > 3，令 ′( ) < 0，解得 1 < < 3，
∴ ( )的单调递减区间为(1,3)， ( )的单调递增区间为( ∞,1)和(3, + ∞)．
(2) ′( ) = ( 2 + 2 + 3 ) ，
∵ ( )在区间( 2,1)上单调递增，∴ ′( ) ≥ 0 在区间( 2,1)上恒成立，
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∵ 恒大于 0，∴ 2 + 2 + 3 ≥ 0 在区间( 2,1)上恒成立，
设 ( ) = 2 + 2 + 3 ，
当 = 0 时，得 2 ≥ 0 在区间( 2,1)上不恒成立，∴ = 0 不满足题意，
当 > 0 1时，由于函数 ( ) = 2 + 2 + 3 的对称轴 = < 0，
∴要 2 + 2 + 3 ≥ 0 在区间( 2,1)上恒成立，
> 0
只需
1
< 2 ，此不等式组无解，
( 2) = 7 4 ≥ 0
> 0
或 2 ≤ < 0 ，解得 ≥ 33 ，
= 4 12 2 ≤ 0
当 < 0 时，函数 ( ) = 2 + 2 + 3 的对称轴 = 1 > 0，
要 2 + 2 + 3 ≥ 0 在区间( 2,1)上恒成立，
( 2) = 7 4 ≥ 0
则只需 2 ，此不等式组无解， = 4 12 > 0
[ 3综上，实数 的求值范围是 3 , + ∞)．
17.解：(1)证明：在长方体 1 1 1 1中，建系如图：
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,4,0)， (0,4,0)，
(2,1,0)， 1(0,0,4)， 1(0,4,4)，
∴ = ( 2,4,0)， = (2,1,0)， 1 = (0,0,4)，
∴ = ( 2) × 2 + 4 × 1 = 0， 1 = 0，
∴ ⊥ ， ⊥ 1，又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
∴ ⊥平面 1 ；
(2)设平面 1的法向量为 = ( , , )，又 = (2,1,0)， 1 = (0,4,4)，
= 2 + = 0
则 ，取 = (1, 2,2)，又 = ( 2, 1,4)， 1 = 4 + 4 = 0
1
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∴直线 1 与平面 1所成的角的正弦值为：

|cos < 1， > | =
| 1 | = 8 = 8 21
| 1|| | 21×3 63
．
18.(1)记小张分别操作 ， ， 抓娃娃机能中奖为事件 ， ， ，
1
则 ( ) = 6， ( ) =
1
4， ( ) =
1 5
3， ( ) = 6， ( ) =
3
4， ( ) =
2
3．
5
因为每次的结果互不影响，因此小张分别操作 ， ， 抓娃娃机能中奖的概率为：1 ( ) ( ) ( ) = 1 6 ×
3 × 24 3 =
7
12．
(2)选择方案一： 可能的取值为 0，20，40，60，

( = 0) = ( ) ( ) ( ) = 512，

( = 20) = ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
= 1 × 3 × 2 + 5 × 1 × 2 + 5 × 3 1 316 4 3 6 4 3 6 4 × 3 = 72，
( = 60) = ( ) ( ) ( ) = 1 1 1 16 × 4 × 3 = 72，
10
因此 ( = 40) = 70，
( ) = 0 × 5 31 10 1因此 12 + 20 × 72 + 40 × 72 + 60 × 72 = 15
1
若选择方案二，设他所获奖品的总件数为 ，则 ～ (3, 4 )，
= 20 ， ( ) = 3 × 14 =
3
4， ( ) = 20 ( ) = 15，
( ) = ( )，因此选择方案一和方案二一样．
19. 2
2 4 +2
解：(1) ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ，
= 0 1 1 1①当 时，令 ′( ) = 0， = 2，则 ( )在(0, 2 )单调递增，在( 2 , + ∞)单调递减，
②当 ≠ 0 时， = 16 16 ，
当△≤ 0 时，即 ≥ 1 时， ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 > 0 时， < 0 或 0 < < 1，
此时方程 2 2 4 + 2 = 0 有两个实根 1， 2，
= 1 1 1+ 1 1 ， 2 = ，
当 < 0 = 1 1 > 0 = 1+ 1 时， 1 ， 2 < 0，
则 ( )在(0, 1)单调递增，在( 1, + ∞)单调递减，
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当 0 < < 1 时， 1 1 1+ 1 1 = > 0， 2 = > 0，
则 ( )在(0, 1)单调递增，在( 1, 2)单调递减，在( 2, + ∞)单调递增，
综上，当 = 0 ( ) (0, 1时， 在 2 )
1
单调递增，在( 2 , + ∞)单调递减；
当 < 0 时， ( ) (0, 1 1 ) ( 1 1 在 单调递增，在 , + ∞)单调递减，
当 ≥ 1 时， ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 0 < < 1 ( ) (0, 1 1 ) ( 1 1 , 1+ 1 1+ 1 时， 在 单调递增，在 )单调递减，在( , + ∞)单调递增．
(2)

证明：当 = 2 时，不等式 ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 )等价于 2 ≥ 1 + ．
( ) =

令 2， ( ) = 1 + ，
( ) =
( 2) 2
由 ′ 3 ，可得 ( )在(0,2)单调递减，在(2, + ∞)单调递增，∴ ( ) = (2) = 4，
( ) = 1 1由 ′ 2 ，可得 ( )在(0, )单调递增，在( , + ∞)单调递减，∴ ( ) = ( ) = + 1，
2 1
又 4 > 1 + ，
∴

≥ 1+ 2 恒成立．
即 ( ) + (2 2) ≤ 2( 2 )得证．
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