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2024-2025 学年甘肃省定西市渭源一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数 满足 2 = 1 + 3 ，则| | =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
2.下列向量的概念错误的是( )
A.长度为 0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B.零向量和任何向量都是共线向量
C.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. // ， // ，则 //
3.已知向量 , 满足| | = 1, | | = 2, < , >= 3 , ⊥ ( +
)，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 12 D. 2
4.如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = = 2 ， 为 的中点，若 = + ，
则 + 的值为( )
A. 6 8 85 B. 5 C. 2 D. 3
5.用斜二测画法画水平放置的△ ，其直观图△ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2.若原
△ 的周长为 10，则 ′ ′ =( )
A. 5 B. 152 2 C. 5 D. 15
6.某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱，圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，
圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为( )
A. 5 B. 7 5 712 12 C. 4 D. 4
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7.设一组样本数据 1， 2，…， 的方差为 0.01，则数据 10 1，10 2，…，10 的方差为( )．
A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10
8 .已知四面体 中，∠ = 3， = = 2 = 2，则当四面体 的体积最大时，其外接球的表
面积为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1 = 3 + 4 ， 2 = 2 ，则下列说法正确的是( )
A. 21 = | 1|2
B. 复数 1 对应的点位于复平面第四象限2

C. | 1 2| = 5 5
D.若复数 满足| 1| = 5，则| 2|的最大值是 5 + 5 2
10.若 ， ， 是空间中三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若 // ， ， ∩ = ，则 //
B.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 ， ， // ，则 //
11.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若△ 为锐角三角形，则 >
C. 若 = 6， = 4， = 2 3，则满足条件的△ 有两个
D. 若 = ，则△ 为等腰三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 ， ， 满足 与 的夹角为锐角，| | = 4，| | = 2，| | = 1，且| + |的最小值为 3，向
量( 1 2 ) ( )的取值范围是______．
13.如果满足∠ = 45°， = 6， = 的△ 有且只有一个，那么实数 的取值范围是______．

14.若事件 和 相互独立， ( ) = 0.3， ( ) = 0.6，则 ( ∪ ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
在△ 中，已知 ， ， 分别是△ 的内角 ， ， 所对的边，记 = (2 , 1)， = (2 , )，且 // ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3，求 2 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ，∠ = 90°，侧棱 ⊥底面 ，且 =
2 = 2 = 4，点 是 的中点，连接 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = ，证明： ⊥平面 ；
(3) 3若二面角 的正弦值为5，求 的长．
17.(本小题 15 分)
某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动.为了了解该校志愿者参与
服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查.根据调查数据绘制了不完整统计图(如图)，条形统计
图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇
形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比．
(1)请补全条形统计图．
(2)请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数．
(3)若该校共有志愿者 600 人，则该校七年级大约有多少名志愿者？
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18.(本小题 17 分)
在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位
观众需彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3
至 5 号中随机选 2 名，观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手．
(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
(2) 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 = 2 的概率．
19.(本小题 17 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 是棱 1的中点．
(1)试判断直线 1与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)若正方体 1 1 1 1的棱长为 1，求点 到平面 1 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[3 2 3, 3 + 2 3]
13.{ | = 3 2或 ≥ 6}
14.0.58
15.(1)因为 = (2 , 1), = (2 , ), // ，
所以 2 = 2 ，
利用正弦定理得：2 = 2 ，
因为 = sin( + )，所以 2 + 2 = 2 ，
所以 2 = 0，因为 ≠ 0，所以 = 12．

又因为 0 < < ，所以 = 3．
(2)因为 = 3 = ， 3，
3
所以由正弦定理 = = 3 = 2，得 = 2 ，
2
同理 = 2 = 2 ( 2 3 ) = 3 + ．
所以 2 = 2 3 ．
因为 0 < < 2 13，所以 2 < < 1，所以 3 < 2 < 2 3．
所以 2 的取值范围为( 3, 2 3)．
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16.(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为中点，所以 // 且 = 12 ，
又因为 = 2 = 2 = 4，且 / / ，
所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，
故 BE// ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：如图，
1
取 的中点 ，连接 ，则 = 2 = 2，
1 1
因为 = 2 , = 2 ，
所以 = ，又因为 = ， / / ，
所以四边形 为正方形，所以 = = 2，
且 = 2 + 2 = 2 2，
在三角形 中， = 2 + 2 = 2 2，在三角形 中，
因为 2 = 2 + 2，故 BC⊥ ，
又因为 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)如图，作 ⊥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
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由 // ，∠ = 90°，所以∠ = 90°，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥底面 ，且 底面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，且 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
2
设 = ，在三角形 中，利用等面积法得 =
4+ 2
，
在三角形 中， = 4+ 2，
2 4+ 2
利用等面积法得 = ，
8+ 2
因为二面角 3的正弦值为5，
2
4+ 2
所以 sin∠ =
3
= = ，2 4+ 2 5
8+ 2
8+ 2整理得 3，
4+ 2 = 5
即 16 4 + 32 2 36 = 0， 2 = 1，
故 = 1 或 1(舍)，
故 AD= 1．
17.(1)由题意知样本容量为 20 ÷ 40% = 50，
则八年级志愿者被抽到的人数为 50 × 30% = 15，
九年级志愿者被抽到的人数为 50 × 20% = 10，
补全条形统计图如下：
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(2)因为教师志愿者被抽到的人数所占百分比为 5 ÷ 50 = 10%，
所以对应的扇形的圆心角的度数为 360° × 10% = 36°．
(3)因为 600 × 40% = 240(名)，
所以该校七年级大约有 240 名志愿者．
18.解：(1)设事件 表示“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”，
2
观众甲选中 3 号歌手的概率为3，
3 2
观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 5 = 5，
2 2 4
所以 ( ) = 3 × 5 = 15；
(2)用事件 ， ， 分别表示“甲、乙、丙选中 3 号歌手”，
根据题意 ( ) = 2 3 33， ( ) = 5， ( ) = 5，
= 2 意味着甲、乙、丙三人中只有 2 人选中 3 号歌手，

所以 ( = 2) = ( ) + ( ) + ( )
= 2 33 × 5 ×
2 + 25 3 ×
2 3 1 3 3 11
5 × 5 + 3 × 5 × 5 = 25．
19.(1)直线 1与平面 平行．
理由如下：
如图：连接 ，交 于点 ，连接 ，
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在△ 1 中， ， 分别为 1， 中点，
所以 是△ 1 的中位线，
所以 / / 1，又因为 平面 ，且 1 平面 ，
所以 1//平面 ；
(2)正方体 1 1 1 1的棱长为 1，
所以 1 = 1 = = 2，
所以△ 31 是等边三角形，所以 △ 1 = 2 ，
又因为 1到底面
1
距离为 1 = 1， △ = 2，
设 到平面 1 的距离为 ，
所以 1 = 1 ，
1 × 3 × = 1 × 1即3 2 3 2 × 1，
解得 = 33 ，
所以点 到平面 31 的距离为 3 ．
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