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2024-2025 学年安徽省六安市善新高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 2 4+ ( 2) 是纯虚数，则实数 =( )
A. 0 B. ±2 C. 2 D. 2
2.已知复数 满足(1 3 ) = 2 ，复数 所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，利用斜二测画法画出的四边形 的直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′，已知 ′ ′ = 6，
′ ′ = 3，则 的长为( )
A. 6
B. 3 5
C. 3 6
D. 3 7
4.某圆锥的底面半径为 1，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. 5 C. 8 D. 10
5.如图所示，在正方体 1 1 1 1中，直线 1 1与平面 1的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.直线 1 1在平面 1内
6.已知 ， 表示两条不同的直线， 表示平面．下列说法正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
7.以下数据为参加数学竞赛决赛的 15 人的成绩：(单位：分)82、75、76、88、90、83、85、86、96、87、
60、100、89、92、93，则这 15 人成绩的第 80 百分位数是( )
A. 92 B. 92.5 C. 93 D. 91.5
8.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
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②“当 为某一实数时，可使 2 < 0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从 100 个灯泡中取出 5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 ：满足(1 + ) = 2 ，则( )
A. | | = 2 B. 的实部为 1

C. 的共轭复数为 = 1 + D. 在复平面中对应的点位于第四象限
10.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， ，则 //
B.若 ⊥ ， ，则 ⊥
C.若 ∩ = ， ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
11.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校 1000 名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识
竞赛，从中随机抽取 200 名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正
确的是( )
A.频率分布直方图中 的值为 0.005
B.估计这 200 名学生竞赛成绩的第 60 百分位数为 80
C.估计这 200 名学生竞赛成绩的众数为 78
D.估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为 150
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 满足 = 1 + 2 ，其中 是虚数单位，则 的虚部为______．
13.一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部
分.那么该模具的体积为______．
14.为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一
个容量为 660 的样本，三个年级学生人数之比依次为 3：4： .已知高一年级共抽取
了 180 人，则高三年级抽取的人数为______人.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)

设复数 1 = 2 + ， 2 = 1 ( ∈ )，且 2 是纯虚数．1
(1)求实数 的值；
(2)若 2是方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，求实数 ， 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， = 1．
(Ⅰ)求证： //平面 1 1；
(Ⅱ)求证： 1 ⊥平面 1 1；
(Ⅲ)求直线 1 和平面 1 1所成的角．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ， 分别是棱 1 1， 的中点．
( )证明： //平面 1 1；
(Ⅱ)若 = = 1 = 2，且 ⊥ ，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知一组样本量为 10 的样本数据如下：
37 39 45 48 49 51 52 55 61 63
(1)求这组数据的平均数和标准差；
(2)求这组数据的 20%和 75%分位数；
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(3)已知另一组样本数据的样本量为 5，平均数为 47，方差为 16，求这两组样本组成的总体的平均数和方
差．
19.(本小题 17 分)
某零食超市某天接待了 1250 名顾客，老年 375 人，中青年 625 人，少年 250 人，景点为了提升服务质量，
采用分层抽样从当天游客中抽取 100 人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照[50,60)，[60,70)，
[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 组，制成如下频率分布直方图：
(1)求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
(2)求频率分布直方图中 的值；
(3)估计当天游客满意度分值的 85%分位数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12. 1
13.8
14.240
15.(1) 2 = 1 = (1 )(2 ) = 2 2 +1因为 1 2+ (2+ )(2 ) 5 5 ，
2
5 = 0因为 2 是纯虚数，所以 ，1 2 +15 ≠ 0
解得 = 2．
(2)若 是方程 2

2 + + = 0 的根，则 2 = 1 + 2 ，

2 + 2= 也是该方程的根，则 ，
2 2=
2 =
即 5 = ，所以 = 2， = 5．
16.解：( )证明：∵ // 1 1， 平面 1 1 ， 1 1 平面 1 1 ，
∴ //平面 1 1 ．
( )证明：在正方体 1 1 1 1中，可得 ⊥平面 1 1，
又 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1，
由四边形 1 1是正方形，可得 1 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 1，
∴ 1 ⊥平面 1 1；
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( )解：取 1与 1 的交点为 ，连接 1，
由( )知 1 ⊥平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 ，
∴ ∠ 1 为直线 1 和平面 1 1 所成的角，
设正方体棱长为 1，则 1 = 2， =
2，
2
∴ sin∠ = 11 1
= 2，
∴ ∠ 1 = 30°，
∴直线 1 和平面 1 1 所成的角为 30°．
17.解：( )证明：取 的中点 ，连接 ， 1 ，
因为 ， 1分别为中点，所以 // 且 = 2 ，
因为 1 1// ，所以 // 1 1，
因为 为中点，所以 // 1 且 = 1 ，
即四边形 1为平行四边形，
所以 // 1 ，又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1，
(Ⅱ)因为 = = 1 = 2，且 ⊥ ，所以 = 2， = = 5，
所以△ 的面积为1
2 × 2 × ( 5)
2 ( 2 2 3，2 ) = 2
设三棱锥 的高为 ，
则 = ，
1
3
1
△ × 2 = 3 △ ，
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4
解得 = 3，
即点 4到平面 的距离为3．
18.已知一组样本量为 10 的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，

(1) = 37+39+45+48+49+51+52+55+61+63平均数 10 = 50，
= (37 50)
2+(39 50)2+(45 50)2+(48 50)2+(49 50)2+(51 50)2+(52 50)2+(55 50)2+(61 50)2+(63 50)2
方差 10 = 64，
所以标准差为 8；
(2)因为 10 × 20% = 2 20% 39+45，所以 分位数为 2 = 42，
10 × 75% = 7.5，所以 75%分位数是第 8 个数，为 55，
(3)已知另一组样本数据的样本量为 5，平均数为 47，方差为 16，

第一组： 1 = 10, 1 = 50, 21 = 64，

第二组： 2 = 5, 2 = 47, 22 = 16，

所以 总 =
10×50+5×47
15 = 49，
2 2 2 21( 1 + ( 1 ) ) + ( + ( ) )2 总 2 2 2 总 =
总 1 + 2
= 10(64+(50 49)
2)+5(16+(47 49)2)
15 = 50．
19.(1)由题意，老年、中青年、少年的人数比例为 375：625：250 = 3：5：2，
3 5
抽取的样本中老年人数为 100 × 10 = 30 人，中青年人数为 100 × 10 = 50 人，少年人数为 20 人．
(2)由题意可得 10 × (0.010 + + 0.035 + 0.020 + 0.010) = 1．
解得 = 0.025．
(3)设当天游客满意度分值的 85%分位数为 ，
∵ 10 × (0.010 + 0.025 + 0.035) = 0.7 < 0.85，
10 × (0.010 + 0.025 + 0.035 + 0.020) = 0.9 > 0.85．
∴ 位于区间[80,90)内，则( 80) × 0.020 = 0.85 0.7，
解得 = 87.5，∴估计当天游客满意度分值的 85%分位数为 87.5．
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