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2024-2025 学年天津一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知复数 满足(1 + ) = 5 ，则| | =( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
2.某同学统计了自 2000 年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下(不含中国香港、中国台湾)：28，
32，48，38，26，38，40，则这组数据的 70%分位数为( )
A. 26 B. 32 C. 35 D. 38
3.设 、 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
4.“ < 3”是“向量 = ( , 1)与向量 = (2, 6)的夹角为钝角”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭
(图 1)是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台(图 2)的组合体．已知某重檐凉亭的
圆台部分的轴截面如图 3 所示，则该圆台部分的侧面积为( )
( 2 2参考公式：圆台的表面积 = ( + + 上 + 下 )( 上, 上 下 下分别是上、下底面的半径， 是母线长))
A. 3.8 2 B. 3.6 2 C. 7.2 2 D. 11.34 2
6 1.已知向量 = (1, 3)，| | = 3，且向量 在向量 上的投影向量为 3
，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 19
7.2025 年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司
为了了解中国动漫市场受众群体的年龄(单位：岁)占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众
的年龄情况，并按照[8,18)，[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]分组，得到如下频率分布表：
年龄分组 [8,18) [18,28) [28,38) [38,48) [48,58)
频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03
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根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为( )
A. 36.6 B. 34.2 C. 32.4 D. 30.2
8.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 =“第一次出现 2 点”， =“第二次的
点数小于 5 点”， =“两次点数之和为 9”， =“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是( )
A. 与 不互斥且 与 相互独立 B. 与 不互斥且 与 相互独立
C. 与 互斥且 与 不相互独立 D. 与 不互斥且 与 相互独立
9.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3 + 1 猜想等，其描述为：任一正整数 ，如果是奇数就乘以 3 再
加 1，如果是偶数就除以 2，反复计算，最终都将会得到数字 1.例如：给出正整数 5，则进行这种反复运算
的过程为 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1，即按照这种运算规律进行 5 次运算后得到 1.若从正整数 6，7，8，9，
10 中任取 2 个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为( )
A. 310 B.
3 7 5
5 C. 10 D. 6
10.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ∩ = ， 是线段 1 (含端点)上的一动点，则
① ⊥ 1；
② //面 1 1 ；
③三棱锥 1 的体积为定值；
④ 与 1 1所成的最大角为 90°．
上述命题中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6 小题，共 28 分。
11.已知向量| | = 2 2 ，| | = 4， ， 的夹角为 3，则|2
| = ______．
12.在复平面内，向量 对应的复数 1 = 1 + 2 , 绕点 逆时针旋转 90°后对应的复数为 2，则 2 =______．
13.有一组样本数据：6， 1， 2，…， 5，已知它的平均数为 6，方差为 10，则新数据 1， 2，…， 5的方
差为______．
14.《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的
两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴
阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八
同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若
从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为______．
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15.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于
中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八
面体的表面积为 12 3，则正八面体外接球的体积为______．
16.在边长为 1 1的正方形 中， 为线段 的三等分点， = 2 ， =
+ ，则 + = ______； 为线段 上的动点， 为 中点，则
的最小值为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 42 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 10 分)

在面积为 的△ 中，内角 ， ， ，所对的边分别为 ， ， ，且 = + ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 3, = 2 3，求△ 的周长；
(3)若△ 为锐角三角形，且 边上的高 为 2，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 10 分)
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精
神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有 20 道数学问题，满分
100 分在所有的答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了 12 道，乙同学答对了 8 道，丙同学答
对了 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
( )任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
( ) 22任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为25，求 的值．
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19.(本小题 11 分)
如图，在四棱锥 中， // ， ⊥ ， 为棱 的中点， ⊥平面 ， = = =
2 = 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
20.(本小题 11 分)
如图，三棱锥 中，△ 是边长为 2 的等边三角形， = 2 3，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
， 分别为 ， 的中点．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角的余弦值；
(3)求二面角 的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.4 3
12. 2 +
13.12
14.15
15.4 3 ．
16.5 43； 9．
17.(1) 因为 = ，由正弦定理可得 = + ，
整理可得 2 + 2 2 = ，由余弦定理可得 2 + 2 2 =
2 ，
可得 = 12，

因 ∈ (0, )，则 = 3；
(2) = 2 3 = 2 3 = ， ， 3，
因为 = 12 =
3
4 = 2 3，所以 = 8，
再由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 = 12，即( + )2 3 = 12，
即( + )2 = 36，解得 + = 6，
所以△ 周长为 + + = 2 3 + 6；
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(3) = 1 = 1由 △ 2 2 可得：4 = 3 ，

由正弦定理， =
3 2 2
= = 3 =4× 2
，即得： = , = ，
2
1
则 △ = 2 =
1 × 2 × 2 × 3 = 3 32 2 sin( 3+ )
=
( 3 12 +2 )
= 33 =
4 3 4 3
2 +1 1 2 3 2 2 +1
= 2 (2 )+1，
4 2 2 6
0 < < 2
由△ 为锐角三角形，则 2 ，解得 < < ，0 < 3 <
6 2
2
5 1
则6 < 2 6 < 6，2 < sin(2 6 ) ≤ 1，
4 3
故得 3 ≤ △ < 2 3，
即△ 4 3面积的取值范围为[ 3 , 2 3)．
18.解：(1)由频率分布直方图得 10 × (0.005 + 0.010 × 2 + 0.020 + 0.025 + ) = 1，解得 = 0.030，
设数学成绩的中位数为 ，
(0.005 + 0.010 + 0.020) × 10 < 0.5，
(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 > 0.5，
∴中位数 ∈ (70,80)，
10 × (0.005 + 0.010 + 0.020) + 0.03 × ( 70) = 0.5，
解得 = 75，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为 75．
(2)设 =“任选一道题，甲答对”， =“任选一道题，乙答对”， =“任选一道题，丙答对”，
12 3 8 2
则由古典概型概率计算公式得： ( ) = 20 = 5， ( ) = 20 = 5， ( ) = 20，

所以有 ( ) = 2 35， ( ) = 5， ( ) = 1

20．

( )记 =“甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有 = ∪ ，且有 与 互斥，

因为每位同学独立作答，所以 ， 互相独立，则 与 ， 与 ， 与 均相互独立，

所以 ( ∪ ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 3 3 2 2 135 × 5 + 5 × 5 = 25，
13
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率25．

( )记 =“甲、乙、两三个人中至少有一个人答对”，则 =
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所以 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) ( ) ( ) = 1 2 × 35 5 × (1
) = 2220 25，
解得： = 10．
19.(1)证明：由题可知 ， ， 两两互相垂直，
所以以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立如图的空间直角坐标系．
又 = = = 2 = 2， 为棱 的中点，
易知 (1,0,0), (1,2,0), ( 1,1,0), (0,0, 3)．
所以 = ( 2,1,0), = (1,2, 3)，
所以 = 0，
所以 ⊥ ．
(2)解：由(1)知 = (1,2,0), = (0,0, 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则 = 0
+ 2 = 0

，即 ，
= 0 3 = 0
取 = 1，则平面 的一个法向量 = ( 2,1,0)．
又因为 = ( 1,1,0)，
|
| 3 3 5
所以 到平面 的距离 = | ．| = 5 = 5
(3)解：由(1)知 = (1,0, 3), = (0,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，

则有 = 0 3 = 0
，即 ，
= 0 2 = 0
取 = 1，平面 的一个法向量 = ( 3, 0,1)．
设平面 与平面 的夹角为 ，
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= |cos , | = | | 2 3 15则 | | | ，| = 5×2 = 5
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 15．
5
20.(1)证明：三棱锥 中，△ 是边长为 2 的等边三角形，
= 2 3，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
， 分别为 ， 的中点，
取 中点 ，连接 ，
∵△ 是等边三角形，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
∵ ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ 为 的中点，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)过点 作 ⊥ ，垂足为 ．
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∴ ∠ 为 与平面 所成的角．
∵ ⊥ ， = = 12 = 3， =
1
2 = 1，
∴ = 2 + 2 = 12 + ( 3)2 = 2， = 2 + 2 = 12 + (2 3)2 = 13，
2 2 2 2 2 2
在△ 中，由余弦定理得 cos∠ = + ( 13) +2 ( 3) 7 132 = 2× 13×2 = 26 ，
∴ 7 13与平面 所成角的余弦值为 26 ．
(3)取 的中点 ，连接 ，
1 3
由题意知 // ， = 2 = 2 ，
过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ．
由(1)知， ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ．
又 ， 平面 ，∴ ⊥ ， ⊥ ．
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∵ ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴ ∠ 为二面角 的平面角．
由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∴在 △ 中， = 2 + 2 = 22 + ( 3)2 = 7，
由(2)知， ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
在 △ 中， 1 1△ = 2 = 2 ，
1
即2 × 3 × 2 =
1
2 × 7 ×
2 21
，解得 = 7 ，
3
在 △ 中，sin∠ = = 2 = 7 2 21 4 ，
7
∴二面角 7的平面角的正弦值为 4 ．
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