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2024-2025 学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的 50 种饮料中抽取了 30 种饮料，对其质量
进行了检查.在这个问题中，30 是( )
A.总体 B.个体 C.样本 D.样本量
2.已知向量 , 满足| | = 2，且 = 3，则(2 + ) 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
3.设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；
③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4.已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ( ) = 0.8， ( ) = 0.3，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
5.在△ 中， = 7, = 2, = 120°，则 =( )
A. 7 B. 21 C. 5 714 14 14 D.
3 21
14
6.已知圆锥的侧面展开图是半径为 6 2 ，圆心角为 3的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. 16 2 B. 16 2 C. 32 2 D. 32 2 3 3
7.欧拉恒等式 + 1 = 0( 为虚数单位， 为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉
公式 = + 的特例：当自变量 = 时， = + = 1，得 + 1 = 0 根据欧拉公式，
复数 = 3 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.如图，为了测量河对面 ， 两建筑物之间的距离，小胡同学在 处观测， ，
分别在 处的北偏西 15°、北偏东 45°方向，再往正东方向行驶 32 米至 处，观测
在 处的正北方向， 在 处的北偏西 60°方向，则 、 两建筑物之间的距离为( )
A. 32 6米 B. 32 3米 C. 16 3米 D. 16 6米
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据：0，1，5，6，7，11，12，则( )
A.这组数据的平均数为 6 B.这组数据的方差为 16
C.这组数据的极差为 11 D.这组数据的第 70 百分位数为 7
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10.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ∩ = ， ∩ = ，则 ⊥
11.下列关于平面向量的说法中，正确的是( )
A.若 = ， = ，则 =
B.若 // ， // ，则 //
C. ( ) = ( )
D.若非零向量 ， 满足 + = 0( , ∈ )，且 ， 不共线，则 = = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在复平面内，复数 对应的点为(2, 1)，则 1 = ______．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为 0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为 0.85，且
甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率
为______．
14.如图，圆柱的轴截面 为正方形， 为弧 的中点，则异面直线 与 所成角的
余弦值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,0)， = ( , 1)， 2 = ( 3,2)．
(1)求| + |；
(2)设向量 ， 的夹角为 ，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在正四棱锥 中， = 2， = 3．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求四棱锥 的表面积．
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17.(本小题 15 分)
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了 500 位
同学的数学成绩作为样本(成绩均在[80,150]内)，将所得成绩分成 7 组：[80,90)，[90,100)，[100,110)，
[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；(同一组中的数据用该组数据的中间值作为
代表，中位数精确到 0.1)
(2)从样本内数学分数在[130,140)，[140,150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取 5 名学生，再从这 5
名学生中随机选出 3 人进行数学学习经验的分享，求选出的 3 人中恰有一人成绩在[140,150]中的概率．
18.(本小题 17 分)
在△ 3中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且△ 的面积为 ( 24 +
2 2).
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3， = 6， 是△ 的一条中线，求线段 的长．
19.(本小题 17 分)
如图，已知在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ，且 1 = 2 = 2 = 2，点 在线段 1(含端点)上运

动，设 = ．1
(1)当 //平面 1 时，求实数 的值；
(2)当平面 1 ⊥平面 1 1 时，求平面 1 与平面 1 1所成锐二面角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.0.958
14. 66
15.(1)向量 = (1,0)， = ( , 1)，
则 2 = (1 2 ,2)，
2 = ( 3,2)，
1 2 = 3
则 2 = 2 ，解得 = 2，
故 = (2, 1)，
+ = (3, 1)，
所以| + | = 32 + ( 1)2 = 10；
(2) = (1,0) (2, 1) = 1 × 2 0 × 1 = 2，| | = 1，| | = √5，

则 = = 2 = 2 5．
| || | 1× 5 5
16.解：(1)连接 ， ，记 ∩ = ，连接 ，如图所示．
由正四棱锥的特征可得 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = 2， = 3，
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1 1
所以 = 2 = 2 × 2 2 = 2，
所以 = 2 2 = 7，
所以四棱锥 的体积 = 13
1 4 7
；
四边形 = 3 × 2 × 2 × 7 = 3
(2)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，所以 = 2 + 2 = 2 2，
1
所以四棱锥 的表面积 = 4 △ + 四边形 = 4 × 2 × 2 × 2 2 + 2 × 2 = 4 + 8 2．
17.解：(1)由题意知(0.012 + 0.028 + 0.022 + 0.018 + 0.010 + + 0.002) × 10 = 1，
解得 = 0.008，
数学成绩的平均数为：

= 85 × 0.12 + 95 × 0.22 + 105 × 0.28 + 115 × 0.18 + 125 × 0.10 + 135 × 0.08 + 145 × 0.02 = 107.4，
由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为 0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数 ∈ [100,110)，
则( 100) × 0.028 + 0.34 = 0.5 = 740，解得 7 ≈ 105.7；
(2) 5 [130,140) 0.08抽取的 人中，分数在 内的有0.08+0.02 × 5 = 4 人，
在[140,150]内的有 1 人，
记在[130,140)内的 4 人为 ， ， ， ，在[140,150]内的 1 人为 ，
从 5 人中任取 3 人，有( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，
( , , )共 10 种，
选出的 3 人中恰有一人成绩在[140,150]中，有( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，
共 6 种，
6 3
故所求概率为 = 10 = 5．
18.解：(1)因为 = 12 =
3
4 (
2 + 2 2)，
所以1 3 ，
2 = 4 × 2
∈ (0, ) = 解得 = 3，又 ，可得 3．
(2)根据余弦定理， 2 = 2 + 2 2 ，
所以， 2 = 32 + 62 2 × 3 × 6 × 12 = 27，解得 = 3 3，
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因为 为 的中点，则 为 边的中线，
根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得 2(9 + 36) = 27 + 4 2，
∴ = 3 7．2
即线段 的长度为3 7．
2
19.解：(1)连接 1，交 1 于点 ，连接 ，则 为 1的中点，
且平面 1 ∩平面 1 = ，
∵ //平面 1 ， 平面 1，
∴ // ，
∴ 为 1的中点，
即实数 1的值为2．
(2) ∵在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1，
∴ 1 ⊥ 1 1，
∵ ⊥ ， // 1 1，
∴ 1 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ 1 1 ⊥平面 1 1，
又∵ 平面 1 1，
∴ 1 1 ⊥ ，
过点 作 ⊥ 1于点 ，
∴ 1 1 ⊥ ，
又∵ 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1 面 1 1 ， 1 面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 ，
又 面 1 ，
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∴平面 1 ⊥平面 1 1 ，
1
延长 交 1于点 ， = 2，
过点 作 ⊥ 交 于点 ，过点 作 ⊥ 1 于点 ，
∴ ∠ 是平面 1 与平面 1 1所成锐二面角的平面角(∠ <

2 )，
∵ = 2，2 =
5 34，
34 tan∠ =
= 2 × 34 17， 2 5 = 5
∴ cos∠ = 5 = 5 42，42 42
∴平面 5 421 与平面 1 1所成锐二面角的余弦值为 ．42
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