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第01讲 实数及其运算
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
数轴、相反数、绝对值、倒数 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
科学记数法 会用科学记数法表示数
平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.
实数比较大小 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.
实数的相关计算 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 实数的分类
1. 正数与负数
正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等.
负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等.
2.有理数及分类
有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.
例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等.
有理数分类：
3. 无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数.
【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.
常见的无理数：
1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等
2） 开方开不尽的数，如： 、等.
[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等.
4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…
5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.
【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
4. 实数及其分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数.
实数的分类：
【典例1】（2025·安徽）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．5
【解答】解：∵﹣2＜0＜2＜5，
∴最小的数是：﹣2．
故选：A．
【典例2】（ 2025·河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　）
A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个
【解答】解：如果某班足球队进4个球记作+4个，
那么该队失3个球记作﹣3个，
故选：B．
【典例3】（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
【解答】解：∵，
∴，
∴选项中的四个数中最大的数是3.5，
故选：A．
考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
【补充】
1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；
3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.
4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2. 相反数
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.
性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.
2）一个有理数有且只有一个相反数；
3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.
2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.
3.绝对值
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即.
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.
4. 倒数
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
【易混易错】
1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.
2）若a、b互为倒数，则ab=1.
3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）
【典例1】（ 2025·北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|
【分析】观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根据有理数的加减法则判断B，C选项的掌握，从而解答即可．
【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴A、B、C选项的结论错误，D选项的结论正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小和有理数的加减法则．
【典例2】（2025·湖北）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0
【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，a＜b，
故选项A符合题意．
故选：A．
【典例3】（2023·江苏连云港·统考中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变前面的符号，即可得的相反数．
【详解】解：的相反数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
考点三 科学记数法
1.科学记数法
定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
类别 a的确定 n的确定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6-
【补充】
1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.
2）一个负数也可以用科学记数法表示.
3）科学记数法的常见类型:
① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；
② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示；
③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.
2.近似数
准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.
精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0.
【典例1】（ 2025·广西）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A．130×105 B．13×106 C．1.3×107 D．0.13×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：13000000＝1.3×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【典例2】（ 2025·北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A．1.8×105km B．1.8×106km
C．1.8×107km D．1.8×1010km
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：45×4×105km＝18000000km＝1.8×107km，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为　1.57×1010　 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：157亿＝15700000000＝1.57×1010．
故答案为：1.57×1010．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考点四 平方根、立方根
1. 算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；
2）算术平方根本身具有非负性，即≥0；
【小结】即在式子中，a≥0且≥0.
两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
2. 平方根
定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.
性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
3. 立方根
定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.
【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.
2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即.
4. 常见实数的平方与立方：
常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
【典例1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
【典例2】请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝　2（答案不唯一）　．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】由算术平方根的定义，即可得到答案．
【解答】解：写出一个正整数m的值使得是整数：m＝2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
【典例3】完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意列出算式，利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：5，
则正方形的边长为5．
故选：B．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
考点五 比较实数的大小
1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a5）倒数比较法：
6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小.
7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236
【典例1】（ 2025·福建）下列实数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．2
【解答】解：∵﹣1＜02，
∴最小的数是：﹣1．
故选：A．
【典例2】下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
【考点】有理数大小比较；绝对值．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】先化简|﹣1|，再比较各数大小得结论．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，
∴﹣3＜0＜|﹣1|＜2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法和绝对值的意义是解决本题的关键．
【典例3】以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　）
北京 济南 太原 郑州
0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【考点】有理数大小比较；正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，
∵1＜2，
∴﹣1＞﹣2；
∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃，
∴所给的四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小．
考点六 实数的运算
实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.
1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数同0相乘，都得0.
【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；
2）0除以任何不为0的数，都得0.
5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
6.运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
【易混易错】
1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律．
2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
【典例1】（2025·安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　6　 ．
【解答】解：原式＝5+1＝6，
故答案为：6．
【典例2】（ 2025·北京）计算：|﹣3|2sin30°．
【分析】利用绝对值及算术平方根的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝3+32﹣2
＝3+32﹣1
＝4+3．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例3】计算：（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1|+（﹣2）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】．
【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，即可解决问题．
【解答】解：原式＝21﹣31
＝21﹣31
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解决本题的关键是利用以上知识准确计算．
专项训练·深度理解
专项训练一：实数及其运算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·浙江）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是．
故选：A．
2. （2025·安徽）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．521.7×108 B．5.217×109
C．5.217×1010 D．0.5217×1011
【解答】解：521.7亿＝52170000000＝5.217×1010．
故选：C．
3. （ 2025·甘肃）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．4.5142×109 B．4.5142×1010
C．4.5142×1011 D．4.5142×1012
【解答】解：451420000000＝4.5142×1011．
故选：C．
4. （ 2025·广西）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．0 C．1 D．5
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：5的相反数是﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
5. （ 2025·河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃），
即温度计上显示0℃，
故选：B．
6. （2025·浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（　　）
A．26.293×1011 B．2.6293×1012
C．0.26293×1013 D．2.6293×1013
【解答】解：2629300000000＝2.6293×1012．
故选：B．
7. （2025·浙江模拟）有理数2024的倒数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【详解】解：有理数2024的倒数是，
故选：C．
8. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；数感；几何直观．
【答案】C
【分析】根据数轴可得：a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，然后对各个选项逐一判断即可．
【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣c＞b，故选项A错误，不符合题意；
a＜﹣c，故选项B错误，不符合题意；
|a﹣b|＝b﹣a，故选项C正确，符合题意；
|c﹣a|＝c﹣a，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在（　　）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，再根据数轴上A，B，C，D，E五个点在数轴上的位置进行判断即可．
【解答】解：∵34，而数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，
∴表示数 的点应在线段CD上，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的前提．
10. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图形得到a＜0，b＞0，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴原式＝﹣1+1＝0．
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　﹣1　 ．
【解答】解：为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作﹣1．
故答案为：﹣1．
12. （2025·浙江）|﹣5|　2　 ．
【解答】解：原式＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　8　．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】新定义；实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据m*n＝mn﹣mn，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵m*n＝mn﹣mn，
∴（﹣2）*2
＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
14. 如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 　13　．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可得，把x＝﹣5，y＝3代入（x2+y0）进行计算即可解答．
【解答】解：当x＝﹣5，y＝3时，
（x2+y0）[（﹣5）2+30]（25+1）26＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有 　20　个．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；应用意识．
【答案】20．
【分析】由红色弹珠、绿色弹珠占的比例及两种弹珠的数量均为正整数，即可得出四种颜色弹珠的总数为12的整数倍，结合四种颜色弹珠的总数不超过50个，可得出四种颜色弹珠的总数最多为48个，再利用蓝色弹珠的个数＝四种颜色弹珠的总数﹣红色弹珠的个数﹣绿色弹珠的个数﹣黑色弹珠的个数，即可求出结论．
【解答】解：∵为红色弹珠，为绿色弹珠，红色弹珠和绿色弹珠的数量均为正整数，且4，6的最小公倍数为12，
∴四种颜色弹珠的总数为12的整数倍，
又∵四种颜色弹珠的总数不超过50个，
∴四种颜色弹珠的总数最多为48个，此时蓝色弹珠的个数＝48﹣48488＝20（个）．
故答案为：20．
【点评】本题考查了有理数的混合运算以及因数和倍数，根据各种颜色弹珠所占比例及4，6的最小公倍数，找出四种颜色弹珠的总数为12的整数倍是解题的关键．
16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 　DDDD　（填写网名字母代号）．
【考点】有理数的乘方；尾数特征．
【专题】规律型；实数；运算能力；推理能力．
【答案】DDDD．
【分析】由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘；通过计算可得2n的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6；由积的乘方运算可得2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，从而可求解．
【解答】解：（1）∵2200就是200个2相乘，
∴YYDS（永远的神）的说法正确；
∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘，
∴2200不等于2002，
∴DDDD（懂的都懂）说法不正确；
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的尾数2，4，8，6循环，
∵200÷4＝50，
∴2200的个位数字是6，
∴JXND（觉醒年代）说法正确；
∵210＝1024，103＝1000，
∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，
∵1024＞1000，
∴2200＞1060，
∴QGYW（强国有我）说法正确；
故答案为：DDDD．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）（ 2025·福建）计算：20+|1．
【解答】解：原式
．
（2）（ 2025·甘肃）计算：．
【解答】解：原式＝2
．
（3）（2025·湖北）计算：|﹣6|22．
【解答】解：|﹣6|22
＝64
＝6﹣4+4
＝6．
18. （6分）
（1）（2025·湖南）计算：（﹣2025）0+|﹣1|﹣tan45°．
【解答】解：原式＝1+1﹣1＝2﹣1＝1．
（2）计算：（）﹣12cos60°﹣（π﹣1）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】0．
【分析】先化简各项，再作加减法，即可计算．
【解答】解：原式
＝0，
故答案为：0．
【点评】此题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握运算法则和运算顺序．
19. （6分）（ 2025·河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：（﹣6）×（）．解：（﹣6）×（）＝﹣6第一步＝﹣3+4﹣5……第二步＝﹣4……第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：|2|﹣（﹣2）2×（）．
【解答】解：（1）原解题步骤从第一步开始出现错误，正确步骤如下：
原式＝（﹣6）（﹣6）（﹣6）
＝﹣3﹣4+5
＝﹣2；
（2）原式＝24×（）
＝2（44）
＝2（2﹣1）
＝21
＝1．
20. （8分）计算：（﹣6）×（■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【考点】有理数的混合运算；一元一次方程的应用．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将被污染的数字代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）（﹣6）×（）﹣23＝（﹣6）8
＝﹣1﹣8＝﹣9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：（﹣6）×（x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的数字是3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
21. （8分）在“﹣”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入22+2×（1□）中的□，并计算．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】添加想要的符号“﹣”，先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
添加想要的符号“×”，先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：添加想要的符号“﹣”，
22+2×（1）
＝4+2
＝4+1
＝5；
添加想要的符号“×”，
22+2×（1）
＝4+2
＝4+1
＝5．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
22. （8分）（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为64＜67＜81，
所以89，
则可以设成以下两种形式：
①8+s，其中0＜s＜1；
②9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求的近似值的过程如表．
因为8+s，所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因为s2比较小，将s2忽略不计，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s，故8.19．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
【解答】解：（1）设，其中0＜t＜1，
∴，
∴67＝81﹣18t+t2，
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81﹣18t，
∴，
∴；
（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下；
∵8.18×8.18＝66.9124，8.19×8.19＝67.0761，，
∴，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
23. （10分）【阅读材料】
，即，，
的整数部分为1，的小数部分．
【解决问题】
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ； ；
（3）若为正整数，的整数部分为5，求满足条件的最大正整数的值是什么？
【答案】（1）
（2）4；
（3）最大正整数的值为35
【解析】
【分析】（1）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（2）先求出的整数部分和小数部分，即可求出a、b的值；
（3）根据的整数部分为5，得出，求出，再根据为正整数，得出最大正整数的值为．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
即，
∴，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为；
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
即，
∴，
∴的整数部分为4，
∴的小数部分为，
∴，；
故答案为：4；．
【小问3详解】
解：∵的整数部分为5，
∴，
∴，
∴最大正整数的值为35．
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第01讲 实数及其运算
考点展示·课标透视
中考考点 新课标要求
实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
数轴、相反数、绝对值、倒数 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
科学记数法 会用科学记数法表示数
平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算.
实数比较大小 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小.
实数的相关计算 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.
知识导航·学法指引
分类研究·深度理解
考点一 实数的分类
1. 正数与负数
正数：大于0的数叫做正数，如：0.5，，+2等.
负数：小于0的数叫做负数.如：-0.5，，-2，-（+1）等.
2.有理数及分类
有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.
例：0.53（分数形式：），1.333333…（分数形式：），，整数3（分数形式：）等.
有理数分类：
3. 无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数.
【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.
常见的无理数：
1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等
2） 开方开不尽的数，如： 、等.
[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等.
4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…
5）某些三角函数，如sin60°、cos20°.
【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
4. 实数及其分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数.
实数的分类：
【典例1】（2025·安徽）在﹣2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．5
【典例2】（ 2025·河南）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　）
A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个
【典例3】（2025·湖南）下列四个数中，最大的数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣1
考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
【补充】
1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；
3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.
4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2. 相反数
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.
性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.
2）一个有理数有且只有一个相反数；
3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧.
2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数.
3.绝对值
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即.
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0.
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0.
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论.
4. 倒数
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
【易混易错】
1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1.
2）若a、b互为倒数，则ab=1.
3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）
【典例1】（ 2025·北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a＞﹣1 B．a+b＝0 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|
【典例2】（2025·湖北）数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0
【典例3】（2023·江苏连云港·统考中考真题）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．6
考点三 科学记数法
1.科学记数法
定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
类别 a的确定 n的确定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6-
【补充】
1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数.
2）一个负数也可以用科学记数法表示.
3）科学记数法的常见类型:
① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；
② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示；
③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示.
2.近似数
准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数.
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数.
精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字.例：0.012有两个个有效数字：1,2；3.6万有两个有效数字：3,6；有四个有效数字：4,3,6,0.
【典例1】（ 2025·广西）2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（　　）
A．130×105 B．13×106 C．1.3×107 D．0.13×108
【典例2】（ 2025·北京）2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016H03的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A．1.8×105km B．1.8×106km
C．1.8×107km D．1.8×1010km
【典例3】（ 2025·黑龙江龙东）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为　 　 ．
考点四 平方根、立方根
1. 算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；
2）算术平方根本身具有非负性，即≥0；
【小结】即在式子中，a≥0且≥0.
两个重要等式：1），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
2. 平方根
定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.
性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.
3. 立方根
定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.
【补充】1）立方根等于本身的有0和±1.
2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即.
4. 常见实数的平方与立方：
常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
【典例1】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）﹣8的立方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【典例2】请写出一个正整数m的值使得是整数：m＝　 ．
【典例3】完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（　　）
A．2 B．5 C．10 D．20
考点五 比较实数的大小
1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a5）倒数比较法：
6）平方比较法：a、b为正数，若a2>b2，则a>b. a、b为负数，若a2>b2，则a【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小.
7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236
【典例1】（ 2025·福建）下列实数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．2
【典例2】下列各数中，最大的是（　　）
A．﹣3 B．0 C．2 D．|﹣1|
【典例3】以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　）
北京 济南 太原 郑州
0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
考点六 实数的运算
实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用.
1. 实数的加法法则：1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2. 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.
3. 实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数同0相乘，都得0.
【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
4. 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；
2）0除以任何不为0的数，都得0.
5. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
6.运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
【易混易错】
1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律．
2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
【典例1】（2025·安徽）计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝　 ．
【典例2】（ 2025·北京）计算：|﹣3|2sin30°．
【典例3】计算：（3.14﹣π）0﹣3tan60°+|1|+（﹣2）﹣2．
专项训练·深度理解
专项训练一：实数及其运算
（时间：60分钟，总分100分）
一、选择题（本题共10题，每题3分，共30分）
1. （2025·浙江）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2. （2025·安徽）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．521.7×108 B．5.217×109
C．5.217×1010 D．0.5217×1011
3. （ 2025·甘肃）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．4.5142×109 B．4.5142×1010
C．4.5142×1011 D．4.5142×1012
4. （ 2025·广西）5的相反数是（　　）
A．﹣5 B．0 C．1 D．5
5. （ 2025·河北）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　）
A． B． C． D．
6. （2025·浙江）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（　　）
A．26.293×1011 B．2.6293×1012
C．0.26293×1013 D．2.6293×1013
7. （2025·浙江模拟）有理数2024的倒数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
8. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
9. 如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在（　　）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
10. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
二、填空题（本题共6题，每题3分，共18分）
11. （ 2025·福建）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　 　 ．
12. （2025·浙江）|﹣5|　 　 ．
13. 定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝　 　．
14. 如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 　13　．
15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有 　 　个．
16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 　 　（填写网名字母代号）．
三、解答题（本题共7题，共52分）
17. （6分）（1）（ 2025·福建）计算：20+|1．
（2）（ 2025·甘肃）计算：．
（3）（2025·湖北）计算：|﹣6|22．
18. （6分）
（1）（2025·湖南）计算：（﹣2025）0+|﹣1|﹣tan45°．
（2）计算：（）﹣12cos60°﹣（π﹣1）0．
19. （6分）（ 2025·河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：（﹣6）×（）．解：（﹣6）×（）＝﹣6第一步＝﹣3+4﹣5……第二步＝﹣4……第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：|2|﹣（﹣2）2×（）．
20. （8分）计算：（﹣6）×（■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
21. （8分）在“﹣”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入22+2×（1□）中的□，并计算．
22. （8分）（2025·浙江）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab+b2
近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为64＜67＜81，
所以89，
则可以设成以下两种形式：
①8+s，其中0＜s＜1；
②9﹣t，其中0＜t＜1．
小明以①的形式求的近似值的过程如表．
因为8+s，所以67＝（8+s）2，即67＝64+16s+s2．因为s2比较小，将s2忽略不计，所以67≈64+16s，即16s≈67﹣64，得s，故8.19．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）．
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
23. （10分）【阅读材料】
，即，，
的整数部分为1，的小数部分．
【解决问题】
（1）填空：的小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，则 ； ；
（3）若为正整数，的整数部分为5，求满足条件的最大正整数的值是什么？
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