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2024-2025 学年安徽省宿州二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 2 < 0}，集合 = { | = 3 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. (0, 2) B. {1,3} C. {1} D. {1,0}
2.已知命题 ： ∈ ， 2 + 1 > ，命题 ： ∈ ， 2 < + 1，则( )
A. 和 都是真命题 B.￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D.￢ 和￢ 都是真命题

3.已知事件 ， 相互独立，0 < ( ) < 1，若 ( ) = 0.4， ( | ) = 0.3，则 ( ) =( )
A. 0.18 B. 0.12 C. 0.42 D. 0.28
4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
5 sin( + ) .已知 lim 0 02 =
1
4， 0 ∈ [
, 2 2 ]，则 0 =( ) →0
A. 12 B. ±
3
2 C.
1
2 D.
1
4
6.现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5 本不同的书籍分发给甲乙丙 3
人，每人至少分得 1 本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. 150 B. 100 C. 25 D. 50
7.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数，且 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )， (0) = 1，则
2025 =0 ( ) =( )
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A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
8.已知函数 ( ) = ( ) ( )，对定义域内任意 < ，都有 1 21 2 < 1，则正实数 的取值范围为( )1 2
A. (0, 1 ] B. (0, ] C. [
1
, + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量 的分布列为
1 2 3 4 5
0.1 0.4 0.2 0.1
若离散型随机变量 满足 = 2 + 1，则下列结果正确的有( )
A. ( ) = 5 B. ( ) = 3 C. ( ) = 4.8 D. ( ) = 2.4
10.已知( + 2 2 )
的展开式中，仅第 6 项的二项式系数最大，则下列说法正确的是( )
A. = 10
B.展开式中常数项为 180
C.展开式中各项系数之和为210
D. 1 2 1 + 2 + + + + = 2
11.已知函数 ( ) = 3 2 + ，则下列说法正确的是( )
A.对任意的实数 ， ，函数 ( )恒有两个极值点
B.设 1， 2为 ( )的极值点，则| 2 1| ≥ 3
C.当 = 1 1时，若 ( )在( 3, )上有最大值，则 3 < ≤ 1
D.若 ( ) + (1 ) = 2 ，则 = 32
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 ～ (1, 2)，且 ( < 0.9) = 0.3，则 (| 1| < 0.1) = ______．
13.已知 > 0， > 0 1，直线 = + + 1 与曲线 = + 2
1 1
相切，则 + 的最小值是______．
14.已知函数 ( ) = + + 2，若不等式 ( ) < ( 2 + 1)对任意 ∈ 恒成立，则实数 的取值范
围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 15 分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 + 6 ≤ 0}， = { |1 < < 6}， = { | + 1 < < 2 }．
(Ⅰ)求( ) ∩ ；
(Ⅱ)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
(1)解关于 的不等式： 2 ( + 1) + ≥ 0．
(2)关于 的不等式 2 + 3 ≥ 0 在 ∈ [1,2]上有解，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为 (0 < <
1).从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为 2，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的
概率为 1 ．
(1) = 1当 2时，求甲第二局获胜的概率．
(2) 1设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为9．
①求 ；
②记这场比赛需要进行的局数为 ，求 的分布列与期望．
18.(本小题 15 分)
某市一个社区微信群“步行者”有成员 100 人，其中男性 70 人，女性 30 人，现统计他们平均每天步行的
时间，得到频率分布直方图，如图所示：
若规定平均每天步行时间不少于 2 小时的成员为“步行健将”，低于 2 小时的成员为“非步行健将”.已知
1
“步行健将”中女性占5．
(1)填写下面 2 × 2 列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否为‘步行健
将’与性别有关”；
步行健将 非步行健将 总计
男性
女性
总计
(2)现从“步行健将”中随机选派 2 人参加全市业余步行比赛，求 2 人中男性的人数 的分布列及数学期望．
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
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( 2 ≥ 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)若 为实数，试讨论方程 ( ) = 的根个数；
(2)证明： (ln 2) < ( 4 4 2 )；
(3)若点 在 ( )的图象上运动，求点 到直线 = 2 距离的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0.4
13.4
14.( 1,1)
15.(Ⅰ) ∵ = { | 2 + 6 ≤ 0} = { | 2 + 6 ≥ 0} = { | ≤ 3 或 ≥ 2}，
∴ = { | 3 < < 2}，
∴ ( ) ∩ = { |1 < < 2}．
(Ⅱ) ∵ ∪ = ，
∴ ，
①当 = 时，则 + 1 ≥ 2 ，得 ≤ 1．
②当 ≠ 时，可得
+ 1 < 2
+ 1 ≥ 1 ，即 1 < ≤ 3，
2 ≤ 6
综上，实数 的取值范围为{ | ≤ 3}．
16.解：(1)因为 2 ( + 1) + = 0 解得 1 = ， 2 = 1．
当 > 1 时，不等式解集为( ∞,1] ∪ [ , + ∞)；
当 = 1 时，不等式解集为 ；
当 < 1 时，不等式解集为( ∞, ] ∪ [1, + ∞)．
(2)关于 的不等式 2 + 3 ≥ 0 在 ∈ [1,2]上有解，
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≤
2+3 3
则 = + 在 ∈ [1,2]上有解，
所以 ≤ ( + 3 ) ．
因为 ∈ [1,2] 3，所以 + ≤ 4．
所以 ≤ 4，
故实数 的取值范围为{ | ≤ 4}．
17.解：(1)设 =“甲第 局获胜”，其中 = 1，2，3，
依题意得 ( 1) =
1
，当 = 2时，

由全概率公式得 ( 2) = ( 1 2) + ( 1 2) = ( 2 21) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1) = + (1 ) =
( 1 3 1 2 32 ) + (1 2 ) = 8，
3
所以甲第二局获胜的概率为8；
(2) 1 2①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为(1 )2，依题意得(1 )2 = 9，解得 = 3；
② 的可能取值为 2，3，

( = 2) = ( 2 2 3 1 2 141 2) + ( 1 2) = + (1 ) = ( 3 ) + 3 × 3 = 27，

( = 3) = ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3) + ( 1 2 3)
= (1 2)(1 ) + (1 )(1 ) 2 + (1 2) + (1 )(1 )(1 2) = 1 3+ 2 = 1
( 23 )
3 + ( 2 )2 2 = 133 3 27，
所以 的分布列为：
2 3
14 1327 27
( ) = 2 × 14 13 6727 + 3 × 27 = 27．
18.(1)据频率分布直方图，“步行健将”的人数为(0.5 + 0.2) × 0.5 × 100 = 35，其中女性有 7 人，填写表
格如下：
步行健将 非步行健将 总计
男性 28 42 70
女性 7 23 30
总计 35 65 100
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2 = 100(23×28 7×42)
2
故 35×65×30×70 ≈ 2.564 < 3.841，
故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否为步行健将”与性别有关”；
(2)依题意知 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 0 2
所以 ( = 0) = 7 32 = ， ( = 1) =
7 28 = 28， ( = 2) = 7 28 54
2 2
=
35 85 35 85 35 85
，
分布列为：
0 1 2
3 28 54
85 85 85
故 ( ) = 0 × 385 + 1 ×
28 54 8
85 + 2 × 85 = 5．
19.(1)由于函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) = ( + 1) ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 < 1 时， ′( ) < 0，
那么函数 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
故 = 1 时，函数 ( ) 1取得极小值 ( 1) = ，
且当 →+∞时， ( ) →+∞，当 → ∞时， ( ) → 0，函数 ( ) = 的图象如图：
由于 ( ) = 的根个数即 ( ) = 图象与 = 的交点个数．由图知，
当 ≥ 0 和 = 1 时， = 与 ( ) =
只有一个交点，此时方程 ( ) = 有 1 个实根；
1当 < < 0 时， = 与 ( ) =
有两个交点，此时方程 ( ) = 有 2 个实根；
当 < 1 时， = 与 ( ) =
没有交点，此时 ( ) = 没有实根．
2
ln
(2) 2 4 4 4 2(2 2)根据 ln 2 = 2 = 4 ，
2
2 = 2 = 2 ，
2
因此可构造 ( ) = ，那么导函数 ′( ) =
1
2 ，
当 > 时， ′( ) < 0，当 0 < < 时， ′( ) > 0，
( ) = 因此函数 在( , + ∞)上为减函数，在(0, )上为增函数，
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<
2 2
所以根据 2 < 4，可得 0 < (2) = (4) < ( 2 )，
2
所以根据 ( )在( 1, + ∞)上为增函数，可得 ( (2)) < ( ( 2 ))，
(ln 2) < ( 4 4因此可得 2 )．
(3)设点 ( 0, 0)，易知当曲线在 ( 0, 0)处的切线与 = 2 平行时，
点 ( 0, 0)到 = 2 的距离最小，
又导函数 ′( ) = ( + 1) ，那么有 ′( ) = ( + 1) 0 0 0 = 1．
令函数 ( ) = ( + 1) 1，那么导函数 ′( ) = ( + 2) ，
易知，当 > 2 时， ′( ) > 0，当 < 2 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在区间( 2, + ∞)上单调递增，在区间( ∞, 2)上单调递减，
且 < 1 时， ( ) < 0，又 (0) = 0 1 = 0，因此 0 = 0，那么 (0) = 0，
故 (0,0)到直线 = 2 的距离即点 到直线 = 2 2距离的最小值，为 = 2 = 2．
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