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2024-2025 学年广西桂林市国龙外国语学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.240°是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

2.设复数 = 4 3 的共轭复数为 ，则 =( )
A. 25 B. 10 C. 13 D. 25
3.已知向量 = ( , 1)， = ( 2,3)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 23 3 C.
3
2 D.
3
2
4.已知 ∈ ( , 2 2 ), 2 = ，则 2 =( )
A. 12 B.
3
3 C. 3 D. 1
5.设 ， ， 表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，下列命题中正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ，且 ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 ⊥
6.在相距 2 千米的 、 两点处测量目标 ，若∠ = 75°，∠ = 60°，则 ， 两点之间的距离是( )
千米．
A. 1 B. 3 C. 6 D. 2
7.已知三棱锥 的体积为 1，△ 是边长为 2 的正三角形，且 = 2，则直线 与平面 所成角
的正弦值为( )
A. 1 B. 2 32 2 C. 2 D. 1
8.设定义在 上的函数 ( )满足 ( ) ( + 2) = 13，若 (1) = 2，则 (99) =( )
A. 13 B. 2 C. 13 22 D. 13
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = (1, 1)，则( )
A. + 2 = (3,1)
B. | | = 5
C. cos < , >= 1010
D. 1 1在 方向上的投影向量坐标是( 2 , 2 )
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10.函数 ( ) = sin( + 6 ) + ，则( )
A. ( )的最小正周期为 2
B. ( )的图象关于 = 6对称
C. ( )在( 6 , 3 )上单调递增
D. ∈ ( , 当 3 2 )时， ( )的值域为(0, 3]
11.如图，矩形 中， 为 的中点， = = 1，将△ 沿直线 翻折成 1 ，连结 1 ，
为 1 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A.存在某个位置，使得 ⊥
B. //平面 1
C.异面直线 与 51所成的角的余弦值为 5
D.当三棱锥 1 的体积最大时，三棱锥 1 的外接球的表面积是 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知复数 = 2 3 + 2 + ( 2 4) ( ∈ )为纯虚数，则 = ______．
13.化简：sin( + 2 )cos( 2 + ) + cos( 2 )sin(
3
2 ) = ______．
14 .已知函数 ( ) = tan( + )的图象关于点( 6 , 0)中心对称，则 的一个值可以是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知单位向量 ， 满足 = ．
(1)当 = 1 2，求| |的值；
(2)作向量 = ， = ，并设 = + 2 ，求| |的最大值．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 sin( ) = ．
(1)求 ；
(2)若△ 面积等于 3， = 13 ，求 的值．
17.(本小题 17 分)
函数 ( ) = 2 (2 + 3 )(0 < < 1)的图象如图所示，点 、 分别为图象在[0,2 ]内的一个最大值点和最
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小值点，点 是曲线 ( )上在 段的一个动点；
(1)求 的值；
(2)设 是坐标原点，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，四边形 为菱形， //平面 ，过 的平面交平面 于 ， = = = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)若平面 ⊥平面 ，∠ = 60°，且四棱锥 的体积是 2 3．
①求 的长；
②求平面 与平面 所成夹角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
实系数一元三次方程 3 23 + 2 + 1 + 0 = 0( 3 ≠ 0)，在复数集 内的根为 1， 2， 3，方程可变形为
1 + 2 + 3 =
2
,3

3(
1
1)( 2)( 3) = 0，展开可得 1 2 + 1 3 + 2 3 = ,如果一元 次方程系数是复数，根与系3
1 2 3 =
0
.3
数的这些关系仍然成立．
(1)已知方程 3 6 2 + 11 6 = 0 有三个根，其中一个为 1，求方程的另两个根；
(2)设△ 三个顶点在复平面内对应的复数分别为 1， 2， 3，满足 1 2 3 = 0， 1 + 2 + 3 = 9 + 4 ， 1 2 +
1 3 + 2 3 = 18 + 24 ，求△ 内切圆半径；
(3) 记区间( , )的长度为 ，若关于 的不等式： =1 > ( > 0, ∈
, ≥ 2)的解集为 ，求 中所
有区间的长度之和(结果用 ， 表示)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.
14. 6 (答案不唯一)
15.(1) 1 1由题意，当 = 2时， = 2，
又 ， 为单位向量，则| | = | | = 1，
则| |2 = | + 1 2
2
2 | =
2 + + 1 4 = 1
1+ 1 32 4 = 4，
故| | = 32 ；
(2)由 = + 2 ，
可得| |2 = | + 2 |2 = | + 2 |2
2
= 2 + 4 + 4 2 = 1 + 8 2，
设 与 的夹角为 ，则 0 ≤ ≤ ，
又 = = | | | | = ，
则| | = | | ≤ 1，则| |2 ≤ 9，
当且仅当 与 共线时取等号，
故| |的最大值为 3．
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16.(1) ∵ sin( ) = = sin( + )，
∴ = ，
∴ 2 = ，
∴ = 12，
∴ = 3．
(2) 1 3△ = 2 = 4 = 3，
∴ = 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
∴ 13 = ( + )2 12，即 + = 5，
若 > ，则 > = 13，
解得 = 4， = 1，

由正弦定理得 = = 4，
若 < ，则 < = 13，
由 + = 5 且 = 4 解得 = 1， = 4，
= = 1由正弦定理得 4，
= = 4 1故 或4．
17.解：(1)结合函数 ( ) = 2 (2 + 3 )(0 < < 1)

的图象可知，函数 ( )的图象过点( 6 , 2)，

所以 ( 6 ) = 2 (
+ 3 3 ) = 2，
sin( 即 3 + 3 ) = 1，
+ = 即 3 3 2 + 2 ， ∈ ，
1
解得 = 2+ 6 ， ∈ ，
因为 0 < < 1，
所以 = 12；
(2)由(1)可得 ( ) = 2 ( + 3 )，
又点 、 分别为图象在[0,2 ]内的一个最大值点和最小值点，
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在[0,2 ] 7 上 ( 6 , 2)， ( 6 , 2)，
7
则 = ( 6 , 2) ( 6 , 2) = ( , 4)，
又点 是曲线 ( )上在 段的一个动点，
设 ( , 2 ( + )) 3 ，6 ≤ ≤
7
6，
则 = + 8 ( + 3 )，
由条件可知 与 8 ( + ) 7 3 在区间[ 6 , 6 ]上都是减函数，
7
所以函数 = + 8 ( + 3 )在区间[ 6 , 6 ]上是减函数，
2 2
当 = 6时， = 8
= 7 7 6，当 6时， = 8 6 ，
7 2 2
所以值域为[ 8 6 , 8

6 ]，
所以
2 2
7 的取值范围是[ 8 6 , 8 6 ]．
18.(1)证明：因为 //平面 ，过 的平面交平面 于 ，
因此 // ，又因为 = = ，因此四边形 为菱形，
因此 // ，因为 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ．
又因为四边形 为菱形，因此同理 //平面 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，因此平面 //平面 ，
又 平面 ，因此 //平面 ；
(2)①连接 交 于点 ，连接 ，
因为 = ，且∠ = 60°，则△ 为等边三角形，
又四边形 为菱形，则 为 中点，因此 ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，且交线为 ，
因此 ⊥平面 ，
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因为 = = = 2，因此 = 3，
因此 1 1 = 3 2 3 =
1
6 2 3 = 2 3，
因此 = 6．
②由①知 = = 2， = = 10， = 2 3，
所以△ 与△ 全等，
作 ⊥ 于 ，连 ，则 ⊥ ，∠ 为二面角 的平面角，
作 ⊥ 于 ，连接 ，又 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
四边形 为菱形，所以 ⊥ ， = 9 + 1 = 10，
1 1 1△ = 2 = 2 × 3 × 1 = 2 =
10 3 10，
2 = 10
在△ 中， = 2 + 2 = 39，10
39
因此 = = × = 10
× 10 13，
2 3 = 2
2 2 2
在△ ，由余弦定理得：cos∠ = + = 5，2 × 13
sin∠ = 1 (cos∠ )2 = 1213，
12
故平面 与平面 的夹角的正弦值为13．
19.(1) 3 6 2 + 11 6 = ( 1)( 2)( 3)，
利用根与系数的关系可得：1 + 2 + 3 = 6， 2 3 = 6，解得 2 = 2， 3 = 3．
(2)根据三次方程根与系数的关系可知， 3 21， 2， 3为 (9 + 4 ) + (18 + 24 ) = 0 的三个根，首先必
定有一个为 0，
不妨设 1 = 0，则 22， 3为 (9 + 4 ) + (18 + 24 ) = 0 的两个根，
分解因式得( 6)( 3 4 ) = 0，所以 2 = 6， 3 = 3 + 4 ，
所以三角形 的三个顶点为 (0,0)， (3,4)， (6,0)，
设三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
则三角形 的面积 △ = △ + △ + △ ，
即 1△ = 2 ( + + ) ．
1
因为 = 5, = 5, = 6, △ = 2 × 6 × 4 = 12，
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= 2 所以 △ + + =
3
2．
(3)设函数 ( ) = 1 2 3 1 + 2 + 3+ + ．
反比例函数 = ( ∈
) 只存在递减区间，所以 = ( ∈
)只存在递减区间，
故函数 ( )在( ∞,1)，(1,2)，(2,3)， ，( , + ∞)上递减，
易得 = 1， = 2， ， = 为函数 ( )图象的渐近线．
所以函数 ( )的图象与直线 = 相交于 个点．
这些点的横坐标为 ∈ ( , + 1)( = 1,2, …, 1)， ∈ ( , + ∞)，
它们即为方程 ( ) = 的所有解．
故由图象得，原不等式的解集为 = (1, 1) ∪ (2, 2) ∪ (3, 3) ∪ ∪ ( , )，
故解集 中有 个区间，所有区间长度之和为 = =1 ( ) = =1 =1 ，
1 2 3 1
联系韦达定理： 1+ 2 + 3 + + ( 1) + =
( 1)( 2) ( ) = 1 ( 2)( 3) ( ) + 2 ( 1)( 3) ( ) +
可得一个关于 的一元 次方程，由韦达定理，只需考虑项 与 1项的系数，
易得最高次项的系数为 ， 1项的系为 (1 + ) 1+ =1 ，即 =1 = =1 ．
1+ ( +1)
所以有 = =1

=1 = ( 1)

=1 = 2 ．
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