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2024-2025 学年湖南省娄底一中高二（下）期末数学试卷（B 卷）
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
2.公差不为零的等差数列{ }的首项为 1， 3 = 3，则{ }的公差为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
3.设非零向量 , ，则“( + )·( ) = 0”是“ = 或 = ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列曲线中，存在与 轴平行的切线的是( )
A. = + 1 B. = C. = D. = 3
5.已知等比数列{ }的公比为 ，前 ( ∈ )项和为 ，若 6 = 9 3，则下列结论公比 =( )
A. = 2 B. = 12 C. = 2 D. =
1
2
6.在 10 件产品中，有 8 种合格品，2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3 件，抽出的 3 件中至少有 1 件
是次品的抽法种数为( )
A. 64 B. 72 C. 384 D. 432
7.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ∈ (0, 2 ), ′( ) > ( )sin( ).则下列不等式一定成立的是
( )
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A. 3 ( ) < ( 2 3 6 )cos 3 B. (1) < 2 ( 4 ) 1
C. ( 4 ) < 2 (

3 ) D.
2 3
3 ( 6 ) 1 > (1)
8.某市高三年级有 20000 名学生，在一次检测考试中，数学成绩 (95, 152)，若从所有学生中随机抽取
10 名学生了解教学情况(总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算)，则 10 名学生的成绩均在 65
分以上的概率为( )
(参考数据： ( < + ) = 0.68， ( 2 < + 2 ) = 0.95)
A. 0.6810 B. 0.9510 C. 0.97510 D. 0.8410
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.期末考试，某学校的数学成绩服从正态分布 ～ (110, 102)，则( )
A.这次测试的数学平均成绩为 110
B.这次测试的数学成绩的方差为 10
C.分数在 120 分以上的人数与分数在 90 分以下的人数相同
D.分数在 140 分以上的人数与分数在 80 分以下的人数大致相同
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 4， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.存在无数个点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为定值
D.三棱锥 的外接球表面积为 36
11 +1.对于函数 ( ) = ，下列说法正确的有( )
A. ( )在 = 1 处取得极大值 1
B. ( ) = = 1 3在 处的切线方程为 2 +
C. ( )有两个零点
D.若 ( ) < 1 在(0, + ∞)上恒成立，则 >
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.已知数列{ }是首项 1 = 4 的等比数列，且 4 1， 5， 2 3成等差数列，则其公比 等于 ．
13.设(1 2 )6 = 0 + 1 + 22 + + 66 ，则 3的值为______．
2
14
2
.点 1、 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过点 1的直线与双曲线的左、右两支分
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别交于 ， 两点.若| |、| 2|、| 2|组成一个直角三角形，且其中两条直角边的长度分别为 3 和 4，则
满足条件的双曲线的离心率有______种情况．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2
15
2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为 2 2，点 ( 2, 1)在 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 ： = + 2与椭圆 交于 ， 两点，且| | = 6，求 的值．
16.已知函数 ( ) = 2 2 ， ( ) = 2 2 2( ∈ )．
(1) 1若 = 2，求函数 ( )的极值；
(2)若 ∈ ，且不等式 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立，求 的最小值．
17.某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击 100
次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有两次游戏机会．
②依次参加 、 游戏．
③若一个游戏胜利，则可以参加下一个游戏；若游戏失败，则继续进行该游戏．
④参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 100 元；参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 200 元；不管参加
哪一个游戏，失败均无奖金．
1 1
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是2，乙参加每一个游戏获胜的概率都是3，第一阶段甲、乙两位运动
员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
(2)在(1)的基础上，解答下列两问：
(ⅰ)求该运动员不能参加 游戏的概率；
(ⅱ)已知两次游戏结束后有三种不同的奖金额，分别为 1 = 0 元、 2 = 100 元、 3 = 300 元，记 为获得
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元奖金对应的概率.定义：最终获得奖金的期望为 = =1 ，求 ( = 1,2,3)以及该运动员最终获得奖
金的期望．
18.如图(1)，在正三角形 中， ， 分别为 ， 中点，将△ 沿 折起，使二面角 为
直二面角，如图(2)，连接 ， ，过点 作平面 与平面 平行，分别交 ， 于 ， ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2) 点 在线段 上运动，当 与平面 所成角的正弦值为 15时，求 的值．5
19.物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广
泛.其定义是：对于函数 ( )，若满足( +1 ) ′( ) + ( ) = 0，则称数列{ }为牛顿数列.已知 ( ) =
4，如图，在横坐标为 1 = 1 的点处作 ( )的切线，切线与 轴交点的横坐标为 2，用 2代替 1重复上述过
程得到 3，一直下去，得到数列{ }.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若数列{ }的前 项和为 ，且对任意的 ∈ ，满足 ≥ 16 (
5 ) 6 ，求整数 的最小值. (参考数据：
0.94 = 0.6561，0.95 ≈ 0.5905，0.96 ≈ 0.5314，0.97 ≈ 0.4783)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±1
13. 160
14.3
15.(1)因为椭圆 的短轴长为
所以 2 = 2 2，
解得 = 2，
2 2
则椭圆 的标准方程为 2 + 2 = 1，
因为点 ( 2, 1)在椭圆上，
( 2)2 12
所以 2 + 2 = 1，
解得 = 2，

2 2
则椭圆 的标准方程为 4 + 2 = 1；
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2 1+2 2
联立 2 2 ，消去 并整理得( 4 )
2 + 2 = 0，
4 + 2 = 1
2
此时 = ( 2 )2 4 × 1+2 4 × 0 > 0，
解得 ≠ 0，
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由韦达定理得 1 + =
2
2 2 =
4 2
1+2 2 , 1 2 = 0，1+2
4
| | = (1 + 2)[( 4 2 所以 21+2 2 ) 4 × 0] = 6，
整理得 8 4 + 8 2 6 = 0，
解得 2 = 1 2 32或 = 2 (舍去)．
2
则 =± 2 ．
16.(1) 1当 = 2时，函数 ( ) = 2 ， > 0．
2
因此导函数 ′( ) = 1 =
2
， > 0．
由 ′( ) < 0 > 2；由 ′( ) > 0 0 < < 2，
因此 ( )在(2, + ∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增，
因此当 = 2 时， ( )有极大值，为 (2) = 2 2 2；无极小值．
(2)由于 ∈ ，且 ( ) ≤ ( )在(0, + ∞)上恒成立．
因此 2 2 ≤ 2 2 2 在(0, + ∞)上恒成立．
即 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2 在(0, + ∞)上恒成立．
设函数 ( ) = 1， > 0．
1 1那么导函数 ′( ) = 1 = ．
由 ′( ) < 0 0 < < 1；由 ′( ) > 0 > 1，
因此函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
因此 (1)是函数 ( )的最小值，且 (1) = 0．
因此 1 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立．所以 ≥ + 1 4 ≥ 2 + 2 + 2．
因此 2 + 2 ≥ 4 在(0, + ∞)上恒成立．
> 0
所以 2 + (2 4) ≥ 0 4 2 ≤ 0 ≥ 2．2
又 ∈ ，所以 的最小值为 2．
17.(1)0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 = 0.3 < 0.5，
0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 + 0.045 × 10 = 0.75 > 0.5，所以甲得分的中位数位于(80,90)；
由乙的频率分布直方图可得 0.01 × 10 + 0.015 × 10 = 0.25 < 0.5，
0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.035 × 10 = 0.6 > 0.5，所以乙得分的中位数位于(70,80)，
因为甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以甲进入第二阶段．
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(2)( )设事件 = {参与 游戏胜利}，所以其对立事件 = {参与 游戏失败}
1
由题意可得 ( ) = ( ) = 12，所以不能参加 游戏的概率 = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 2；

( )设事件 = {参与 游戏胜利}，所以其对立事件 = {参与 游戏失败}

( ) = ( ) = 1 12，所以 1 = ( ) ( ) = 4，

2 = ( ) ( ) + ( ) ( ) =
1
2， 3 = ( ) ( ) =
1
4，
= 0 × 1所以 4 + 100 ×
1
2 + 300 ×
1
4 = 0 + 50 + 75 = 125(元)．
18.证明：(1)取 中点为 ，连接 ，
∵平面 //平面 ，平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，
同理 // ，
∵ // = 1且 2 ，∴ 为 中点，∴ 为 的中点，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ．
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∴ ⊥ ，∴ = = 12 ，
∵ = ， 是公共边，∴△ ≌△ ，∴ ∠ = ∠ = 90°，
又 ∩ = ，∴ ⊥面 ．
解：(2)由(1)知 ， 分别为 ， 的中点，
∵面 ⊥面 ，
连接 ，则 ⊥ ，
∴ ⊥面 ，
建立空间直角坐标系 ，如图：
令 = 4 ，则 (0,0,0)， (0,0, 3 )， ( 3 , 2 , 0)， (( 3 , 2 , 0)， (0, , 0)， (0, , 0)， ( 3 , 0,0)，
( 3 3 ，2 , , 2 )

设 = ， ( , , )，则( , , 3 ) = (0, , 3 )，
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= 0
得 = ，即 (0, , 3 (1 ))，
= 3 (1 )
设面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)， = ( 3 , , 0)， = (
3
2 , 0,
3 ，
2 )
3 1 1 = 0
则 3 3 ，令 1 = 1，则 1 = 3， 1 = 1，即 = (1, 3, 1)，
2 1 + 2 1 = 0
= ( 3 , , 3 (1 ))，
∵ 与平面 所成角的正弦值为 15时，
5
∴ 15 = |cos < ， > | = |
3 3 3 (1 ) | = 2 15
5 5 3 2+ 2 2+3 2(1 )2 5 4 2 6 +6
，
即 1 =
2
2 ，得整理得 2
2 3 + 1 = 0，
4 6 +6
1
得 = 1 或 = 2，

即 = 1
1
或2．
19.(1) ∵ ( ) = 4，∴ ′( ) = 4 3，
∴ ( )在点( , )处的切线方程为： = 4 3 ( )，
令 = 0 4 3 3，得 = 4 ( )，解得 = 4 ，
= 3 3由题意可得 +1 +1 4 ，即 = 4，
∴ { }
3
是首项为 1，公比为4的等比数列，则 = (
3 1
4 ) ；
(2) 3令 1 = = ( 4 ) ，
则 = 1 ( 3 0 4 ) + 2 (
3 )1 + 3 ( 3 )2 + . . . + ( 3 ) 14 4 4 ，
3
4
3 1 3 2 3 3
= 1 ( 4 ) + 2 ( 4 ) + 3 ( 4 ) + . . . + (
3 ) 4 ，
1 3 3 3
两式相减得：4 = 1 + (
1 2
4 ) + ( 4 ) + + ( 4 )
1 ( 34 )
，
化简得： = 16 (16 + 4 )(
3 ) 4 ，
3
故 16 (16 + 4 )( 4 )
≥ 16 ( 5 6 ) ，得 ≥ (16 + 4 )(
9
10 ) ．
令 = (16 + 4 )(
9 ) 10 ，则 +1 = (
2 +10
5 )(
9
10 )
，
当 ≤ 5 时， +1 ≥ 0，即 6 = 5 > 4 > 3 > 2 > 1，
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当 ≥ 6 时， +1 < 0，即 6 > 7 > 8 > . . .，
∴ ( 9 5 ) = 5 = 6 = 36 ( 10 ) ≈ 21.26，从而整数 = 22．
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