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2024-2025学年陕西省铜川市王益中学高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知点是抛物线：上任意一点，若点到抛物线的准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则( )
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的虚轴长为
C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为
10.若函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称
11.将个数排成行列的一个数阵，如：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列其中已知，，记这个数的和为，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在化学实验课上，某实验小组的名同学利用微型天平测量某胆矾化合结晶物的质量，名同学在测量后得到的数据单位：克分别为：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是______．
13.已知，则 ______．
14.如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
若，求．
16.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且，椭圆的焦距为．
求椭圆的标准方程；
已知点不在轴上在椭圆上，求直线，的斜率之积．
17.本小题分
某市疾控中心为研究青少年每日使用电子产品的时长与近视的关系，随机抽取了名学生进行调查，将数据整理后得到如下列联表：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于小时
每天使用时长低于小时
合计
完善列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“学生近视”与“每天使用电子产品的时长是否低于小时”有关联？
按每天使用电子产品的时长是否低于小时，利用分层随机抽样的方法从非近视的学生中抽取人进一步调查其用眼卫生情况，再从这人中随机抽取人，记为所抽人中每天使用电子产品不低于小时的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中，．
18.本小题分
如图，平面平面，四边形是正方形，，，，．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，为自然对数的底数，，函数的极值点为．
求的值；
证明：对，；
已知数列的前项和，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.在中，，，，
根据余弦定理可得：
可得；
已知，，，
由正弦定理可得，即，
因为，根据大边对大角可知，
所以为锐角，
则．
16.设椭圆半焦距为，则依题意有，所以，
因为椭圆左、右顶点分别为，，且，所以，则，
所以，
所以椭圆的方程为．
设，为点在椭圆上，所以，
由可得，，
则．
即直线，的斜率之积为．
17.列联表如下：
近视学生 非近视学生 合计
每天使用时长不低于小时
每天使用时长低于小时
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，
可认为“学生近视”与“每天使用电子产品时长是否低于小时”有关联，此推断犯错误的概率不超过．
在每天使用电子产品不低于小时的学生中抽取人，
在每天使用电子产品低于小时的学生中抽取人．
所以的可能取值为，，，，，，
所以，
，
故的分布列为：
所以．
18.证明：因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以因为四边形是正方形，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
由知平面，
又平面，所以，
又四边形是正方形，所以，
所以，，两两垂直．
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，则
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
19.由，得，
因为函数的极值点为，所以，解得．
若，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极值点，符合题意．
综上，．
证明：令，，则．
易知在上单调递增，，
所以，使得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的极小值为，也是的最小值．
由，得，且，
所以，
当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立，即．
所以，即．
证明：当时，，
当时，，满足上式，
所以．
由知对，，即，
取，则，所以，即．
所以．
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