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2024-2025学年甘肃省定西市渭源一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列向量的概念错误的是( )
A. 长度为的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B. 零向量和任何向量都是共线向量
C. 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D. ，，则
3.已知向量满足，则实数( )
A. B. C. D.
4.如图，在直角梯形 中，，，， 为 的中点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中若原的周长为，则( )
A. B. C. D.
6.某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱，圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.设一组样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为 ．
A. B. C. D.
8.已知四面体中，，，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 复数对应的点位于复平面第四象限
C.
D. 若复数满足，则的最大值是
10.若，，是空间中三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，，，则满足条件的有两个
D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是______．
13.如果满足，，的有且只有一个，那么实数的取值范围是______．
14.若事件和相互独立，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，，分别是的内角，，所对的边，记，，且．
求角；
若，求的取值范围．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧棱底面，且，点是的中点，连接．
证明：平面；
若，证明：平面；
若二面角的正弦值为，求的长．
17.本小题分
某初级中学正在开展“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的创文活动为了了解该校志愿者参与服务的情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查根据调查数据绘制了不完整统计图如图，条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者人数与样本容量的百分比．
请补全条形统计图．
请你求出扇形统计图中教师所对应的扇形的圆心角的度数．
若该校共有志愿者人，则该校七年级大约有多少名志愿者？
18.本小题分
在一场娱乐晚会上，有位民间歌手至号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众需彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名，观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中随机选名歌手．
求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；
表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的概率．
19.本小题分
如图，在正方体中，是棱的中点．
试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
若正方体的棱长为，求点到平面的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.因为，
所以，
利用正弦定理得：，
因为，所以，
所以，因为，所以．
又因为，所以．
因为，，
所以由正弦定理，得，
同理．
所以．
因为，所以，所以．
所以的取值范围为．
16.证明：如图，取的中点，连接，，
因为为中点，所以且，
又因为，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
故BE，平面，平面，
所以平面．
证明：如图，
取的中点，连接，则，
因为，
所以，又因为，，
所以四边形为正方形，所以，
且，
在三角形中，，在三角形中，
因为，故BC，
又因为底面，底面，
所以，
又因为，且，平面，
所以平面．
如图，作交于，作交于点，连接，
由，，所以，所以，
又因为底面，且底面，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，且，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，又，，，平面，
所以平面，
所以二面角的平面角为，
设，在三角形中，利用等面积法得，
在三角形中，，
利用等面积法得，
因为二面角的正弦值为，
所以，
整理得，
即，，
故或舍，
故AD．
17.由题意知样本容量为，
则八年级志愿者被抽到的人数为，
九年级志愿者被抽到的人数为，
补全条形统计图如下：
因为教师志愿者被抽到的人数所占百分比为，
所以对应的扇形的圆心角的度数为．
因为名，
所以该校七年级大约有名志愿者．
18.解：设事件表示“观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手”，
观众甲选中号歌手的概率为，
观众乙未选中号歌手的概率为，
所以；
用事件，，分别表示“甲、乙、丙选中号歌手”，
根据题意，，，
意味着甲、乙、丙三人中只有人选中号歌手，
所以
．
19.直线与平面平行．
理由如下：
如图：连接，交于点，连接，
在中，，分别为，中点，
所以是的中位线，
所以，又因为平面，且平面，
所以平面；
正方体的棱长为，
所以，
所以是等边三角形，所以，
又因为到底面距离为，，
设到平面的距离为，
所以，
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
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