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2024-2025学年黑龙江省双鸭山市部分学校高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使”的否定是( )
A. ，使 B. ，使
C. ，使 D. ，使
3.若，，，且，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.如图所示是的导数的图象，下列四个结论：
在区间上是增函数；
是的极小值点；
在区间上是减函数，在区间上是增函数；
是的极小值点．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
5.若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，对于任意的实数，，都有且当时，则下列结论不正确的是( )
A.
B. 对于任意的，有
C. 函数在上单调递增
D. 若，则不等式的解集为
7.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列与的值恒相等的式子有( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 在上是减函数
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
11.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，且，则______．
13.若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是______．
14.世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如若，则 ______；已知，，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
当时，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．
求实数的值；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若当时，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，如果方程有两个不等实根，，求实数的取值范围，并证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.当时，，，
所以；
若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．
16.函数的图象可由指数函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到．
因为函数的图象过定点，
故函数的图象恒过定点，
又因为点在图象上，
则，
所以，
解得；
，
若函数有两个零点，
则方程有两个不等实根，
令，，
则它们的函数图象有两个交点，
作出两函数的图象，如图所示：
由图可知：，
故的取值范围为．
17.解：由题意可知，
二氧化碳的每吨平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，
才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则分
因为，所以当时，有最大值．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
18.证明：令，
则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故，
所以恒成立，
又，
所以，即；
解：Ⅱ当时，等价于，
令，，
因为恒成立，则恒成立，
因为，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意．
综上所述，的范围为
19.解：的定义域为，且．
由，得；由，得．
故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
证明：由知：当时，，且．
当时，；当时，．
当时，直线与的图象有两个交点，
即方程有两个不等实根，
因此实数的取值范围是．
方程有两个不等实根，，
，，，，
因此，即．
要证，只需证，
即要证，
即要证．
不妨设．
令，则，，
要证对成立，
即要证对成立．
令，则．
令，
则，在上单调递增，
因此即，在上单调递增，
因此，即成立，
即成立，
．
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