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2024-2025学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.甲乙丙三名同学分别从，，，四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.若随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.设，且，若能被整除，则( )
A. B. C. D.
6.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
7.某地下车库有个连在一排的车位现有辆不同型号的车需要停放，若其中，，，辆车相邻停放，另辆车也相邻停放，但这辆车不停放在一起的不同停放种数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且满足，，则( )
A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是周期为的函数 D.
11.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 若是的极小值点，则在上单调递减
B. 当时，若在上单调递减，则
C. 当时，若有个零点，则的取值范围为
D. 若不等式的解集为，且，则图象的对称中心为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则______．
13.已知定义在上的函数，其导函数为，若且，则不等式的解集为______．
14.若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”若从集合中依次抽取个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
网购已成为现代生活的一种重要购买方式某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查问卷后回收份有效问卷，经统计发现有的人购买该商品，在这些购买者中女性占，而在未购买者中男性与女性各占．
完成下表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关；
男性 女性 合计
已购买
未购买
合计
附：参考公式与数据：，其中．
若此款商品有，，三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这人中有且仅有人获赠同一型号商品的概率．
16.本小题分
已知函数，．
当时，求在上的值域；
若曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形面积为，求的值．
17.本小题分
某名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为．
设名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；
若目标被一人击中不会被摧毁，被人击中而被摧毁的概率为，被人击中而被摧毁的概率为，被人击中则肯定被摧毁设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
函数，若对恒成立，求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
一个不透明的盒子里有质地、大小相同的个小球，其中个红球、个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球．
求停止摸球时盒子里恰好剩下个黑球的概率；
停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望；
若将这个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有个红球、个黑球现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有个红球的概率为，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.根据题意可得补全后的列联表如下：
人数 男性 女性 合计
已购买
未购买
合计
零假设为：购买该款商品与性别无关，
因为，
所以依据小概率的独立性检验可以推断不成立，
即购买该款商品与性别有关，此推断犯错误的概率不超过；
随机抽取人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，
则这人中有且仅有人获赠同一型号商品的概率为．
16.当时，，
，
，
，
，故在单调递增，
又，
在上的值域为．
，
，
又，
曲线在点处切线方程为，
切线与轴交点为，
切线与坐标轴围成的图形面积为，
，解得或．
17.由题意可知，，
所以；
依题意有，
又因为，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以的最大值为．
18的定义域为，
又，由于，
当，即时，，在单调递增；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减；在上单调递增；
，，且，
，
当时，，，在上单调递减，
，符合题意；
当时，令，
则时，，在上单调递增，
即当时，不符合要求，
综上：，即；
证明：由知，当时，，
令，
得，
累加得证毕．
19.依题意停止时恰好取了次，前次为个黑球个红球，第次为红球，
其概率为；
依题意，，，，，．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故分布列为：
期望
；
甲袋始终有个小球，重复次这样操作后，
记甲袋子中恰有个红球的概率为，恰有个红球的概率为，
则．
，
令，因此，
因此数列是以为首项，公比为的等比数列，
因此，当时满足等式．
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