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2024-2025学年云南省玉溪市民族中学高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若一水平放置的正方形的边长为，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是( )
A. B. C. D.
3.在正方体中，直线和直线所成的角为( )
A. B. C. D.
4.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是( )
A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的
C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同
5.甲、乙两人进行投篮练习，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为若甲、乙两人各投篮一次，且是否投中互不影响，则恰有一人投中的概率为( )
A. B. C. D.
6.在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是( )
A. B. C. D.
7.在四面体中，，分别为棱，的中点，，，，则异面直线与所成角为( )
A.
B.
C.
D.
8.函数，则在内零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知中，点，，分别为，，的中点，则( )
A. B.
C. 点的坐标为 D. 的面积为
10.袋子中有个大小、质地完全相同的球，其中个红球、个黄球，从中任取个球，设事件“取出的个球至少有一个红球”，“取出的个球至多有一个红球”，“取出的个球既有红球又有黄球”，“取出的个球全是红球”，则( )
A. 事件与互斥 B. 事件与互为对立事件
C. 事件与相互独立 D. 事件与相互独立
11.已知内接于圆，，设，则( )
A. B. 若，则圆的面积为
C. 若，则圆的面积为 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则的最大值为______．
13.甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中个球的概率为______．
14.已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在边长为的菱形中，，，设，．
用，，表示，并求；
若，，求实数的值．
16.本小题分
某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示：
参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲
参加环境保护知识宣讲 人 人
未参加环境保护知识宣讲 人 人
从该班随机选取名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；
已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的名学生中，有名男生和名女生现从这名学生中随机选取人作为主讲人，求选取的人中恰有名男生和名女生的概率．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，．
当平面时，求实数的值；
当时，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
求；
若为中点，且，求的周长；
若是锐角三角形，求面积的取值范围．
19.本小题分
点，分别是边长为的正方形的边，的中点，沿图中的虚线，，将，，，折起使，，三点重合，重合后的点记为点，如图．
顶点在平面内的正投影为点，点在平面的正投影为点，连接并延长交于点证明：是的中点；
作出点在平面上的正投影说明做法的理由并求四面体的体积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.已知在边长为的菱形中，，，
又，，
则．
因为，，
所以，
则，
所以；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
解得．
16.由题意知，至少参加一项活动的学生人数为：，
班级学生总数为．
因此，该学生至少参加一项活动的概率；
设名男生分别为，，，；名女生分别为，，
记这名学生中随机选取的人为和，则可用表示样本点，
样本空间，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
记事件“选取的人中恰有名男生和名女生”，
则，，，，，，，，
所以，
因为中每一个样本点的可能性都相等，
所以．
17.如图：连接交与点，连接．
因为平面，平面，平面平面，
所以．
因为底面为矩形，所以为中点，
所以为中点，所以，
所以．
当时，取中点，连接，．
因为，．
所以，，
．
．
在中，由余弦定理得：
．
所以，
所以．
设到平面的距离为，
由，
得：，
又．
所以．
设直线与平面所成的角为，
则．
18.因为，
由正弦定理得，
在中，，
即，
所以，
整理可得，
因为，所以，
所以，得，
由，得；
因为为中点，
可得，，，
两边平方可得，
即，
即，
解得舍或，
由余弦定理得，
所以，
所以的周长为；
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
根据题意得，解得，
所以，所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是．
19.证明：平面，平面，，又平面，平面，
，，平面，平面，
，又是等腰直角三角形，，是的中点；
解：在平面内过点作的平行线，与交于，即，则是点在平面的正投影，即平面，理由如下：
由条件知：，，，，
，，，
即，由的分析知：平面，平面，，
，平面，，平面，平面，，
又，平面，，平面，即点在平面的正投影是，
连接，如上图，
在中，，，，
在中，，，
在中，，
；
综上，四面体的体积为．
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