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2024-2025学年湖南省长沙大学附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.为了迎接年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
3.某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，点满足，点为的外心，则的值为( )
A. B. C. D.
6.奇函数和偶函数的图象分别如图、图所示，方程和的实根个数分别，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设椭圆：的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
10.函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ，
B. 若方程有个不同的实数根，则
C. 直线是曲线的切线
D. 点是曲线的对称中心
11.已知函数有两个不同零点，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若，且三棱锥的外接球半径为，则的最大值为______．
14.已知实数，当取得最小值时，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高校共有人，其中男生人，女生人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时
应收集多少位女生样本数据？
根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为：，，，，，估计该校学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率．
视样本数据的频率为概率，现从全校取名学生，记为这四名学生中运动时间超过小时的人数，求的分布列以及数学期望．
16.本小题分
给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”若椭圆的离心率，点在上．
Ⅰ求椭圆的方程和其“卫星圆”方程；
Ⅱ点是椭圆的“卫星圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点，且，，分别交其“卫星圆”于点，，证明：弦长为定值．
17.本小题分
已知函数．
若函数有两个零点，求实数的取值范围；
若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数的定义域为且满足，当时，．
判断在上的单调性并加以证明；
若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，设正数为函数的一个不动点，且，求的取值范围．
19.本小题分
设函数，，，的极大值点为．
求；
若曲线，上分别存在两点，，，，使得四边形为边平行于坐标轴的矩形，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为男生人，女生人，所以抽取女生占总人数的比例为．
又因为分层抽样收集位学生，所以女生样本数据应收集为．
由频率分布直方图可知，
学生每周平均体育运动时间超过个小时的频率为．
估计该校学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率．
由可知运动时间超过小时的概率为，则，
所以，
，
，
，
，
则的分布列为：
则．
16.解：Ⅰ由条件可得： 解得，
所以椭圆的方程为，
卫星圆的方程为 ，
Ⅱ当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，
此时经过点和，且与椭圆只有一个公共点的直线是，
，
线段应为“卫星圆”的直径，
当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则
消去得到，
所以，满足条件的两直线垂直
线段应为“卫星圆”的直径，，
综合知：因为经过点，又分别交其卫星圆于点，且垂直，
所以线段为卫星圆的直径，
所以弦长为定值．

17.解：由题意，可得，则或．
即实数的取值范围为：或；
由的两个零点一个在内，另一个在内，故，
当的图象开口向上时，，所以，解得．
当的图象开口向下时，，所以，解得；
综上，的取值范围为．
18.解：令，则，
因为当时，，即，故在上单调递减，
又，所以，
故为奇函数，根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，
因为在上单调递减，
故在上单调递减．
由可知，在上单调递减，
由，可得，
所以，即，
因为正数为函数的一个不动点，
所以在上有解，
即在上有解，
整理可得，，
令，则，
设，
则，故在上单调递增，且，即，
所以，故在上单调递减，，
故．
19.解：函数，，
，
，
令，解得；令，解得，
在上递增，在上递减，
的极大值点为，
，解得．
由题意，存在，，，
令，则，，
由在上递增，在上存在唯一零点．
由题意，．
令．
对于，
故条件即在上有零点．．
，即，也即．
这等价于，即．
此时，在上存在，在上递增，故．
而，故由零点存在定理，在上存在零点，满足条件．
若，即，也即．
令，又，
故在上递减，
则，不满足题意．
综上，的取值范围为．
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