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集合的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例,了解集合的含义,掌握集合元素的三个特征,初步运用集合元素的特征解决简单问题 数学抽象
2.体会元素与集合之间的属于关系,记住并会应用常用数集的表示符号 逻辑推理
3.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法) 数学抽象
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合 数学抽象
情 境 导 入
2022年2月4日晚,第二十四届冬季
奥林匹克运动会在北京国家体育
场开幕,包括中国台北和中国香港
两个地区在内,一共有91个国家和
地区参加冬奥会,运动员共有2892人.
问题　参加第二十四届冬季奥林匹克运动会的所有运动员能否构成一个集合
新知初探
知识点一、元素与集合的相关概念
1.元素：一般地，把 统称为元素，通常用小写字母a,b,c
…表示.
2.集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写
字母A,B,C…表示.
3.集合相等：构成两个集合的元素是 的
4.集合中元素的特性：
研究对象
元素
一样
确定性、
互异性、
无序性
1．集合中元素的三个特性
(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合．
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素．
(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．
2．集合相等
(1)当已知两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的，即对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中都可以找到相同的元素．
(2)两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该先确定这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断．
想一想
1.集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
提醒　(1)集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义;(2)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等;(3)组成集合的元素可以有有限个,也可以有无限个,含有有限个元素的集合为有限集,含有无限个元素的集合为无限集.
2.某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．
一组对象能构成集合的两个条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合中的元素.
（2）任何两个对象都是不同的.

知识点二、元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 　a∈ a属于
集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A 　a A a不属于
集合A
a∈A　
a A
提醒　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,注意开口方向.
已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．
解析：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.
知识点三、常见的数集及符号表示
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ ________ ___ ___ ___
N　
N*或N＋　
Z　
Q　
R　
题型一
集合的概念
【例1】　(1)(多选)下列所给对象能构成集合的是(　　)
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.比较接近1的整数的全体
D.某校高一年级的16岁以下的学生
解析　(1)A中的对象能构成集合,因为有确定标准,元素是“到原点的距离等于1的点”;B、C中的对象不能构成集合,因为“难题”“比较接近1”的标准不明确,所以元素不确定,故不能构成集合;D中的对象能构成集合,因为有确定标准,元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”,故选A、D.
解析　(2)由题意得a2＝4,即a＝±2.

x≠x2-x , x≠0且 x≠2
例2 (1)(2023·泰州调研)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)
A.5 B.6 C.10 D.15
解析　因为x∈A，y∈A，x－y∈A，
所以分以下5种情况：
①x－y＝1，有四个，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(1，0)；
②x－y＝2，有三个，(3，1)，(4，2)，(2，0)；
③x－y＝3，有两个，(4，1)，(3，0)；
④x－y＝4，有一个，(4，0)；
⑤x－y＝0，有五个，(0，0)，(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
综上，B中所含元素的个数为15.
(2)(2023·湖北九师联盟质检)已知集合A＝{x|(2a－x)(x－a)＜0}，若2 A，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.[1，2)
C.(1，2) D.[1，2]
解析　因为2 A，所以(2a－2)(2－a)≥0，解得1≤a≤2.
题型二
元素与集合的关系
【例3】　(1)(多选)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是(　　)
-2＜0＜1,故B正确;
解析　(2)∵2∈A,∴2×2＋a＞0,即a＞- 4.
2.已知集合M是方程x2-x＋m＝0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是( )
A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M
解析:C　由2∈M知2为方程x2-x＋m＝0的一个解,所以22-2＋m＝0,解得m＝-2.所以方程为x2-x-2＝0,解得x1＝-1,x2＝2.故-1∈M.

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