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2024-2025 学年河北枣强中学高二下学期期末二考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间中，下列命题中正确的是( )
A.相交于同一点的三条直线共面 B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.垂直同一条直线的两直线平行
2.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2，则原图形
的面积为( )
A. 4 2 B. 8 2 C. 16 2 D. 32 2
3.已知圆锥底面半径为 3，高为 9，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为 1: 3，
则圆台的体积为( )
A. 13π B. 26π C. 39π D. 52π
4.若空间向量 = (2,1,0), = (1,0,1)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是( )
A. (4, 1,0) B. ( 1,0, 1) C. ( 2,1,0) D. (1,0,1)
5.记等差数列 的前 项和为 ，若 10 = 100， 10 = 19，则 20 =( )
A. 320 B. 400 C. 480 D. 560
6.在数列 中，若 1 = 3, = +1 ，则 666 是 的( )
A.第 111 项 B.第 222 项 C.第 333 项 D.第 666 项
7.若函数 ( ) = ( )( 1)( 3)的极大值点与其一个零点重合，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.已知在圆锥 中，底面圆 的直径 = 2 2 2 = 1，圆锥 的体积为 π，点 在母线 上，且 3 ，一3
只蚂蚁若从 点出发，沿圆锥侧面爬行到达 点，则它爬行的最短距离为( )
A. 7 B. 13 C. 19 D. 3 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列 中， 3 = 6，前三项和 3 = 18，则公比 的值为( )
A. 1 B. 1 12 C. 1 D. 2
10.为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得
到的实验测量结果 近似服从正态分布 ～ ( , 2).若已知 ( 4 < < 2) < (2 < < 4)，则( )
A. > 0 B. 2 > 4 C. ( > 0) > 0.5 D. ( < 0) < 0.5
11.在四面体 中， = = = = = 2，二面角 的大小为 ，该四面体的所有顶
点都在半径为 1的球 1的球面上，半径为 2的球 2与该四面体的四个面均相切，则( )
A.当 = π 时， 13 = 3 B.存在 ，使 1与 2重合2
C. 1随 的增大而增大 D.对任意的 , <
3
2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列 2 对任意正整数 ，均满足 1 2 3 = ，则 3 = ．
13.在四面体 中， = ， ⊥ ， 、 分别为 、 的中点，则直线 与 所成角的大小为 ．
14.来自国外的博主 ， ， 三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等 5 个著名景点.他们约
定每人至少选择 1 个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中 在北京故宫、西安兵马俑中至少选择
1 个，则不同的打卡方案种数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列 满足： 2 = 3， 7 = 13， 为其前 项和， ∈ ．
(1)求数列 的通项公式 前 项和 ；
(2)令 =

2 ，求 的最大值
16.(本小题 15 分)
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近日，小米 7 新能源汽车发布后，在 1 小时内订单突破了 20 万台，创造了中国新能源汽车的最高订单
记录，同时也向世界展现了我国新能源的实力，为此某车评机构采用随机抽样调查的方式在某地区对青少
年群体和中年群体进行了有关 这种汽车类型的喜爱程度的相关调查，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
青少年群体 40 200
中年群体
合计 290 110
(1)完善上述列联表，并求列联表中所涉及到的 9 个数据的极差和中位数；
(2)根据上表，分别估计青少年群体喜欢 以及中年群体不喜欢 的概率；
(3)根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，分析喜欢 是否与不同年龄群体有关？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
如图，三棱锥 中， 为等边三角形， ⊥ ， = ，点 到平面 的距离为 2．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)若 = 4 2，求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
记 = 1 × 2 × × ，其中 1 = 1，数列{ }满足 + = 1．
(1) 1证明：数列 是等差数列，并求 ；
(2) 1求数列 2 的前 项和 ． +1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 + 2．
(1)若 ( ) = ( )在其定义域内单调递减，求实数 的取值范围；
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(2)是否存在实数 ，使得函数 ( ) = ( + )为偶函数？若存在，求 的值，若不存在，说明理由；
(3) 1 1 3函数 ( ) = 在区间 2 , + ∞ 上有且仅有一个极值点，求正数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.94
13. 4
14.88
15.解：(1)设等差数列 的公差为 ，则 =
7 2
5 = 2，
所以， = 2 + 2( 2) = 2 1．
= + ( +1) 所以 = 2 1 2
2
(2) = 2
≥
2 ( 1)2
1得到2 ≥ 2 1
2 2
≥
( +1)
+1得到2 ≥ 2 +1
2 4 + 2 ≤ 0
合并得到
2 2 1 ≥ 0
所以 1 + 2 ≤ ≤ 2 + 2， ∈ ，所以 = 3．
9
max = 3 = 8
16.解：(1)列联表如下：
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喜欢 不喜欢 合计
青少年群体 160 40 200
中年群体 130 70 200
合计 290 110 400
表格中的 9 个数据由小到大排列为：40,70,110,130,160,200,200,290,400，
所以这 9 个数据的极差为 360，中位数为 160．
(2) 160由(1)知，青少年群体喜欢 的概率 1 = 200 = 0.8；
70
中年群体不喜欢 的概率为 2 = 200 = 0.35．
(3)零假设 0：喜欢 与不同年龄群体无关，
2 = 400(160×70 130×40)
2 3600
由表格中数据经计算得 290×110×200×200 = 319 ≈ 11.285 > 6.635 = 0.01，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，推断零假设 0不成立，
即认为喜欢 与不同年龄群体有关，此推断犯错误的概率不超过 0.01．
17.解：(1)由 ⊥ ， = 2 1 1，得 = 2 ，
2 2
= 2 = 4 ，
设点 3到平面 的距离为 ， 2 = 4 ，
1 1 1 3
由 = 2 2 ，得3 = 3 2，即4 = 4 2，解得 = 2 3，
所以点 到平面 的距离为 2 3．
(2) 2由(1)知， = 2 = 4，而点 到平面 的距离为 2，
2 1所以 与平面 所成角的正弦值为4 = 2．
18.解：(1)证明：因为 +
1
= 1，所以 1 + 1 = 1，则 1 = 1 = 2，所以 ≠ 0．
因为 = 1 × 2 × × ，所以当 ≥ 2 时， 1 = 1 × 2 × × 1，
所以 =

，代入 + = 1

，得 + = 1， 1 1
1 1
两边同时除以 并整理得， = 1( ≥ 2)， 1
1 1
所以数列 是首项为 = 2，公差为 1 的等差数列， 1
1 1 1
所以 = + ( 1) × 1 = + 1，即 = 1 +1
，
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所以 = 1 = 1
1
+1 = +1，即 = +1．

(2)由(1)得， 2 +1 ( +1) 2 +1 = 2 +2 = +2 ，
1 = +2 = 1 2( +1) = 1 2 1 1 1所以 2 +1 ( +1) 2 2 ( +1) 2 +1
= 2 1 ( +1) 2 ，
= 1 1 1 1 1 1所以 1×20 2×21 + 2×21 3×22 + 3×22 4×23 + +
1 1 1
×2 1 ( +1)×2 = 1 ( +1)×2 ，
即 = 1
1
( +1)×2 ．
19.解：(1) ( ) = ( ) = 3 3 2 + 2 ，则 ′( ) = 3 2 + 6 + ，
因为 ( ) = ( )在其定义域内单调递减，所以 ′( ) = 3 2 + 6 + ≤ 0 恒成立，
结合二次函数的性质，开口向下，令 = 36 + 12 ≤ 0 可得 ≤ 3．
(2)设存在，
则 ( ) = ( + ) = ( + )，即 ( + ) = ( + )，
代入展开可得 3 3 + 3 2 3 2 + 3 2 2 + 2 2 = 3 + 3 + 3 2 + 3 2 3 2 + 2 +
2 + 2，
比较 2的系数可得 3 + 3 = 3 3，即 = 1，
验证其它项也满足，故 = 1．
1 1 1 1 3
(3) ( ) = = + 2 3 2
= 1 4
3+
3 +
3
2 +
2
2 ，
令 = 1 3 2 ，因为 ∈ 2 , + ∞ ，所以 ∈ 0, 3 ,
则原函数可变为 = 4 (3 + ) 3 + 3 2 + 2 2 ，则 ′ = 4 3 3(3 + ) 2 + 6 + 2，
( ) = 1 1 3因为函数 在区间 2 , + ∞ 上有且仅有一个极值点，
所以 = ( ) 2 2在 ∈ 0, 上有且仅有一个极值点，即 ′3 在 ∈ 0, 3 有且仅有一个变号零点，
′(0) = 2， ′ 23 =
22 8
27 + 3，
′ 2 = 22 + 8 所以 3 27 3 ≤ 0 ≤
11
36，
所以正数 11的取值范围为 0, 36 ．
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