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2024-2025 学年广东省江门市新会第一中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算C57 + 2A25的值是( )
A. 41 B. 61 C. 62 D. 82
2.下列图中，线性相关性系数最大的是( )
A. B.
C. D.
3.记 为等差数列 的前 项和，已知 4 = 0， 5 = 5，则( )
A. = 2 2 8 B. =
1 22 2 C. = 3 10 D. = 2 5
4.下列说法正确的是( )
A.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有 4 名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中
选购 1 种，则不同的选购方式有 24 种
B.从 村去 村的道路有 3 条，从 村去 村的道路有 5 条，则从 村经过 村去 村不同的路线的条数为 8
C.一个两层书架，分别放置语文类读物 4 本，数学类读物 5 本，每本读物各不相同，从中取出 1 本，则不
同的取法共有 20 种
D.从 1，2，3，4，5 五个数字中任选 3 个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为 60
5.某学校有 ， 两家餐厅，王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第 1 天去 餐厅，那么第 2
天去 餐厅的概率为 0.6；如果第 1 天去 餐厅，那么第 2 天去 餐厅的概率为 0.4.计算王同学第 2 天去 餐
厅用餐的概率( )
A. 0.24 B. 0.36 C. 0.5 D. 0.52
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6.下列命题错误的是( )
A.有一组数据为 3、3、8、4、2、7、10、18，则它们的第 50 百分位数为 5.5
B.线性回归直线 = + 一定经过样本点的中心 ,
C.设 ～ 1, 2 ，且 ( < 0) = 0.2，则 (1 < < 2) = 0.2
D.随机变量 ～ ( , )，若 ( ) = 30， ( ) = 20，则 = 90
e 7 +3cos .设函数 ( ) = 1 ，则曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. 8 16 8 163 B. 3 C. 5 D. 5
8.下列四组数据中，方差最小的为( )
A. 31，22，39 B. 30，46，25 C. 40，18，30 D. 37，42，33
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.利用 2进行独立性检验时， 2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C.样本相关系数 的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当 越小，成对样本数据的线性相关
程度越弱
D.用决定系数 2来比较两个模型的拟合效果． 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10.已知离数型随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2
0.36 1 2 2
下列说法正确的是( )
A. = 1.8 B. = 0.2 C. ( ) = 0.68 D. ( ) = 0.2976
11.设正整数 = 20 + 1 10 1 2 + + 1 2 + 2 ，其中 ∈ 0,1 ( = 0,1, , )，记 ( )为上述
表示中 为 1 的个数．例如：5 = 1 20 + 0 21 + 1 22，所以 (5) = 2.已知集合 = 1,2,3, , 2 1 ，下
列说法正确的是( )
A. (20) = 2
B.对任意的 ∈ ，有 ( ) + 2 =
C.若 ∈ ，则使 ( ) = ∈ , 1 ≤ ≤ 成立的 的取值个数为C

D. 2 1 =1 ( ) = 2
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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6
12.在 1 24 的展开式中， 的系数为 ．
13.若从 2025 的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ．
14.已知函数 ( ) = e ln + 1，若在 1, (1) 处的切线斜率为 1，则 = ；若 ( ) ≥ 0 恒成立，
则 的取值范围为
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表．
品级
机床 合计
一级品 二级品
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
(2)依据小概率值 = 0.010 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 = 2 + 3 .
(1)求数列 的通项公式；
(2) 4令 = + 1，求数列 的前 项和 . +1
17.(本小题 15 分)
从 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取 80
后作为调查对象，随机调查了 10 人，其中打算生二胎的有 4 人，不打算生二胎的有 6 人．
(1)从这 10 人中随机抽取 3 人，记打算生二胎的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；
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(2)若以这 10 人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市 80 后中随机抽取 3 人，记打
算生二胎的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望，方差．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln 2 + , ∈ R ( ) = ( )， ．
(1)当 = 2， = 0 时，求 ( )在区间 1, e 上的最值；
(2)当 = 1 时，若 ( )有三个零点 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)，
①求 的取值范围；
4 2+1
②判断 1 + 3 2与 2 的大小关系，并给出证明．
19.(本小题 17 分)
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如
下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一
轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就
停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠
治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得 1 分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
和 ，一轮试验中甲药的得分记为 ．
(1)求 的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， ( = 0,1, , 8)表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比
乙药更有效”的概率，则 0 = 0， 8 = 1， = 1 + + +1( = 1,2, , 7)，其中 = ( = 1)， =
( = 0)， = ( = 1).假设 = 0.5， = 0.8．
( )证明：{ +1 }( = 0,1,2, , 7)为等比数列；
( )求 4，并根据 4的值解释这种试验方案的合理性．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1516
13.25或 0.4
14.e； ； ； ；
；[ 1, + ∞)
15. (1) 150 3解： 甲机床生产的产品中一级品的频率为200 = 4；
120 3
乙机床生产的产品中一级品的频率为200 = 5．
(2) 2 = 400×(150×80 120×50)
2
270×130×200×200 ≈ 10.256 > 6.635，
依据小概率值 = 0.010 的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
16.解：(1)因为数列 的前 项和为 ，且 = 2 + 3 ，
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 + 3 [( 1)2 + 3( 1)] = 2 + 2，
当 = 1 时， 1 = 1 = 4，适合上式，
故 = 2 + 2．
(2) 4 4 1 1 1 = + 1 = +1 2( +1)×(2 +4)
+ 1 = ( +1)( +2) + 1 = +1 +2 + 1，
1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 3+ 3 4+ + 1 + 2 + = 2 + 2 + .
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17.解：(1)由题意知， 的值为 0，1，2，3，
0 3
( = 0) = C4C6 = 13 6，C10
1 2
( = 1) = 4 6 13 = 2， 10
2
( = 2) = C4C
1
6
3 =
3
C10 10
，
3 0
( = 3) = C4C6 1
C3
= ，
10 30
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
( ) = 0 × 1+ 1 × 1 + 2 × 36 2 10 + 3 ×
1
30 = 1.2；
(2) 4 2 2由题意可知，全市 70 后打算生二胎的概率为 = 10 = 5， = 0，1，2，3，且 ～ (3, 5 )，
( = ) = ( 2 ) ( 3 )3 3 5 5 ( = 0,1,2,3)，
的分布列为：

0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
∴ ( ) = 3 × 25 = 1.2, ( ) = 3 ×
2 × 3 185 5 = 25．
18.解：(1)当 = 2, = 0 时， ( ) = 2 ln 2，
( ) = ( )所以 = 2ln ．
求导得 ′( ) = 2 1 = 2 ．
当 ∈ [1,2]时， ′( ) < 0；当 ∈ (2, ]时， ′( ) > 0．
所以 ( )在[1,2]上单调递减，在(2, ]上单调递增．
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又 (2) = 2ln2 2， (1) = 1， ( ) = 2 ，
所以 ( )在区间[1, ]上的最小值为 2ln2 2，最大值为 2 ．
(2)①当 = 1 时， ( ) = ln 2 + 1，
当 3 = 0 时，即 = ln 23 3 3 3 + 1，
1 = 1 ln 1 1 + 1 = 3ln 3 1+
2
那么 3 2 2 = 0，且 (1) = 0，3 3 3 3 3
若 ( )有三个零点则等价于 ( )在(1, + ∞)上有且只有一个零点，
( ) = ln 1令 ，则 ( ) = ( )，函数 ( )的零点与 ( )有相同的零点，
( )
2+1
又 在(1, + ∞)上零点情况等价于 ( )在(1, + ∞)上零点情况， ′( ) = 2 ，
2 2 ≤ 2 ′( ) = +1 2 +1 ( 1)
2
当 时， 2 ≤ 2 = 2 ≤ 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，所以 ( ) < (1) = 0，函数在(1, + ∞)上无零点，不符合题意，
2 2
当 > 2 时，令 ′( ) = +1 2 = 0 =
+ 4
， 4 2 > 1，
当 1 < < 时， ′4 ( ) > 0，当 > 4时， ′( ) < 0，
所以 ( )在 1, 4 上单调递增，在 4, + ∞ 上单调递减，
所以 4 > (1) = 0，又 →+∞， ( ) → ∞，
所以 ( )在(1, + ∞)有唯一零点 3，即 ( )在(1, + ∞)有唯一零点 3，
综上所述， ( )有三个零点时， > 2，即 的取值范围是(2, + ∞)；
4 2
② +11 2 + 3 < 2 ，证明如下：
由①知， > 2 时， ( ) 1有三个零点 1 < 2 < 3(其中 1 = )，3
考虑 2 = ln 2 2 + 1 2 = 2ln +
1
3 ，
( ) = 2ln + 1 ( > 2) ′( ) = 2令 3 ，则 1
3 2 3
4 = 4 < 0，
所以 ( )在(2, + ∞) 1上单调递减，所以 ( ) < (2) = 2ln2 2 + 8 < 0，
即 2 < 0 = 23 ，所以 > 3 > 1，又函数 =
1
+ 1 在(1, + ∞)上为增函数，
4 2
所以 1 2 + 3 = 1 + 1 =
1 + 1 < 1 + 2 1 = +13 33 2 2
.
19.解：(1)由题意可知 所有可能的取值为： 1，0，1
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∴ ( = 1) = (1 ) ； ( = 0) = + (1 )(1 )； ( = 1) = (1 )
则 的分布列如下：
1 0 1
(1 + (1 )(1 (1 ) ) )
(2) ∵ = 0.5， = 0.8
∴ = 0.5 × 0.8 = 0.4， = 0.5 × 0.8 + 0.5 × 0.2 = 0.5， = 0.5 × 0.2 = 0.1
( ) ∵ = 1 + + +1( = 1,2, , 7)
即 = 0.4 1 + 0.5 + 0.1 +1( = 1,2, , 7)
整理可得：5 = 4 1 + +1( = 1,2, , 7) ∴ +1 = 4 1 ( = 1,2, , 7)
∴ +1 ( = 0,1,2, , 7)是以 1 0为首项，4 为公比的等比数列
( )由( )知： +1 = 1 0 4 = 1 4
∴ 8 7 = 7 6 01 4 ， 7 6 = 1 4 ，……， 1 0 = 1 4
8 8
作和可得： 8 0 10 = 1 4 + 4 + + 47 =
1 4 4 1
1 4 1 = 3 1 = 1
3
∴ 1 = 48 1
1 44 4
∴ = = 40 + 41 + 42 + 43
4 1 3 1 1
4 4 0 1 = 1 4 1 = 3 × 8 =4 1 44
=
+1 257
4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药
1
更有效的概率为 4 = 257 ≈ 0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理．
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