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2024-2025学年四川省攀枝花市高二（下）期末试卷
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这门学科的学业水平考试成绩，现要从中选门考试成绩，如果物理和历史恰有门被选，那么不同的选法共有( )
A. B. C. D.
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 在区间内有个极值点
D. 曲线在点处的切线的斜率大于
7.，，三所学校分别有，，的学生近视，假设这三所学校的学生人数的比为：：，现从这三所学校中任意选取一名学生，则该生近视的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了预测某地经济增长情况，某经济学专家根据该地年月的的数据单位：百亿元建立了线性回归模型，得到了关于的经验回归方程为自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
时间 月 月 月 月 月 月
编号
百亿元
已知，，则( )
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 相应于点的残差为
D. 根据该模型，该地年月的的预测值为百亿元
10.如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，过作与平面平行的平面，设平面平面，则( )
A. 平面平面 B. ，，，四点共面
C. 直线与直线所成的角为 D. 四面体的体积为
11.已知函数，则( )
A. 函数有两个极值点
B. 若函数有个零点，则实数的取值范围是
C. 当时，曲线的对称中心为
D. 若曲线有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量的分布列为
则 ______．
13.设二项式的展开式中各项系数的和为，各二项式系数的和为，且，则 ______．
14.已知实数，满足，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为全面推进“五育并举”，提升学生的综合素质，某学校鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻炼好身体，每天运动小时，养成爱运动的良好习惯随机抽查了名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体育运动时间大于或等于分钟的记为“运动达标”，运动时间小于分钟的记为“运动不达标”，统计情况如图：
完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“运动达标”与“性别”有关？
运动达标 运动不达标 总计
男生
女生
总计
现从“运动不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任选人进行体育运动指导，用表示人中男生的人数，求的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
临界值表：
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在上的最大值和最小值；
若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知各项均为正数的数列的前项和满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和；
是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
设，若不等式在上恒成立，求的最大整数值．
19.本小题分
某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为，每局比赛，棋手胜加分；平局不得分；棋手负减分当棋手总分为时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续已知每局比赛棋手甲胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立．
若每局比赛棋手乙胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立现随机选择一位棋手与机器人下棋，求局后棋手获胜的概率；
在局后比赛终止的条件下，求棋手甲挑战失败的概率；
在挑战过程中，棋手甲每胜局，获奖千元记局后比赛终止且棋手甲获奖万元的概率为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.列联表为：
运动达标 运动不达标 总计
男生
女生
总计
零假设为：“运动达标”与“性别”无关，
根据列联表中的数据，计算得到，
根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，即认为“运动达标”与“性别”有关联；
由知“运动不达标”的男生、女生分别有人和人，
按分层抽样的方法从中抽取人，则男生、女生分别抽到人和人，
易知的取值为：，，，
，，，
的分布列为：


．
16.函数定义域，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
由可得，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
因为，，故函数的最大值为；
由可知，当时，函数取得最小值，
当时，，当时，且，
若函数恰有两个零点，则与有两个交点，
，
故的范围为．
17.因为，且，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，所以，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；
因为，
所以，
所以
；
若存在正整数，，使得，，成等差数列，
则，即，所以，所以，
又且，所以，，所以存在正整数，，使得，，成等差数列．
18.当时，，
所以，
所以，
，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
，
若函数有两个极值点，不妨设，，
则，是方程的两个正根，
所以，且，，
所以，
所以的取值范围为．
，
若不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
，
令，，
，
所以时，，单调递增，
所以，
又，，
所以存在，使得，即，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
所以，，
又，
所以的最大整数值为．
19.因为有甲、乙两位棋手，随机选择一位棋手，所以选择棋手甲的概率为，选择棋手乙的概率也为，
已知棋手甲胜的概率为，棋手乙胜的概率为，
根据全概率公式，设事件为“局后棋手获胜”，事件为“选择棋手甲”，事件为“选择棋手乙”，
则
将，，，，
代入公式可得：．
设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件，
因为
，
，
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为，
所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为；
因为局获奖励万元，说明甲共胜局，
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种；
当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜，
且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，
则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率：
，，
，
因为，所以，
所以，所以单调递减，
所以当时，取最大值为．
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