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2024-2025学年广东省广州外国语学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，向量，若向量，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知角，则“为第二象限角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某次高二数学调研测试中，考生成绩服从正态分布，若，则从参加这次考试的考生中任意选取名考生，该考生的成绩高于的概率为( )
A. B. C. D.
4.我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠的售后保障，在全球赢得了很好的营销局面，如表为该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计．
科研经费单位：百亿元
市场规模单位：百万辆
如此得到关于的经验回归方程：，估计当该品牌新能源汽车的科研经费投入百亿元时，全球市场规模将达到百万辆．
A. B. C. D.
5.用，，，四个数字组成没有重复数字的四位偶数有个．
A. B. C. D.
6.“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的个粽子中至多有一种相同的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知是双曲线：的右焦点，直线与交于，两点，若以为直径的圆经过点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的二项展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式在合并同类项之后共有项 B. 展开式中常数项为
C. 展开式的系数之和为 D. 展开式的最后一项的系数最大
10.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 的一个可能值是
C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D.
11.在一个不透明的盒子中装有材质、大小完全相同的个小球，将它们分别编号为，，，，每次从盒子中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后停止摸球，记总的摸球次数为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. ，其中 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知直线与曲线相切，则的值为______．
14.一只蚂蚁从正四面体的顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点为一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行次后仍在顶点的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知首项为的正项数列满足．
求；
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用，为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训，培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从道题中随机抽取道作答，答对道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
若这道题中甲能答对其中道，计算甲进入决赛的概率；
已知甲进入了决赛，决赛需要回答道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励元；若答对道题目则获得二等奖，奖励元；若答对道题目则获得三等奖，奖励元；若全部答错则没有奖励若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
已知函数．
若，求函数在处的切线方程；
若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为．
Ⅰ设该工厂某位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望；
Ⅱ求；
Ⅲ为缓解交通压力，工厂决定每天抽调人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由．
19.本小题分
已知椭圆过点，右焦点．
求椭圆的方程；
设直线：与椭圆交于，两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆于另一点．
证明：．
求面积的最大值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.当时，有，又，
所以，解得；
由，得是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即；
由，
所以．
16.记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，，，，
所以，，
记甲进入决赛为事件，则甲进入决赛的概率为；
由题可知的取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列如下：
元，
即甲获得奖金的数学期望为元．
17.时，，
所以，
，，
所以所求切线方程为，即；
因为对任意，，
所以对任意，恒成立．
因为，所以，
所以对任意，恒成立，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以若在上恒成立，则，
所以实数的取值范围是．
18.由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率，
所以
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
；
，
则
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以；
由可知，当趋向于正无穷大时，趋向于，
所以工厂每天抽调的人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人．
19.由题意椭圆右焦点可得，
因为椭圆过点，所以，
联立，解得，
所以椭圆的方程为．
证明：因为直线：与椭圆交于，两点，不妨设为第一象限点，
又，轴，如图，所以点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，
两式相减得：，
又，所以，
又，所以，
又，所以，所以．
由对称性不妨设，在第一象限，
联立，消去得，
所以，则，
设直线与倾斜角分别为，，则，
所以，
由可得，，
令，则，
令，则，且当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，即面积的最大值为．
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