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2024-2025学年广西桂林市国龙外国语学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.设复数的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，且，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.在相距千米的、两点处测量目标，若，，则，两点之间的距离是千米．
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的体积为，是边长为的正三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.设定义在上的函数满足，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量坐标是
10.函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上单调递增
D. 当时，的值域为
11.如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为纯虚数，则 ______．
13.化简： ______．
14.已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知单位向量，满足．
当，求的值；
作向量，，并设，求的最大值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若面积等于，，求的值．
17.本小题分
函数的图象如图所示，点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，点是曲线上在段的一个动点；
求的值；
设是坐标原点，求的取值范围．
18.本小题分
如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．
求证：平面；
若平面平面，，且四棱锥的体积是．
求的长；
求平面与平面所成夹角的正弦值．
19.本小题分
实系数一元三次方程，在复数集内的根为，，，方程可变形为，展开可得如果一元次方程系数是复数，根与系数的这些关系仍然成立．
已知方程有三个根，其中一个为，求方程的另两个根；
设三个顶点在复平面内对应的复数分别为，，，满足，，，求内切圆半径；
记区间的长度为，若关于的不等式：的解集为，求中所有区间的长度之和结果用，表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.由题意，当时，，
又，为单位向量，则，
则，
故；
由，
可得
，
设与的夹角为，则，
又，
则，则，
当且仅当与共线时取等号，
故的最大值为．
16.，
，
，
，
．
，
，
由余弦定理得，
，即，
若，则，
解得，，
由正弦定理得，
若，则，
由且解得，，
由正弦定理得，
故或．
17.解：结合函数的图象可知，函数的图象过点，
所以，
即，
即，，
解得，，
因为，
所以；
由可得，
又点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，
在上，，
则，
又点是曲线上在段的一个动点，
设，，
则，
由条件可知与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上是减函数，
当时，，当时，，
所以值域为，
所以的取值范围是．
18.证明：因为平面，过的平面交平面于，
因此，又因为，因此四边形为菱形，
因此，因为平面，平面，因此平面．
又因为四边形为菱形，因此同理平面，
因为，，平面，因此平面平面，
又平面，因此平面；
连接交于点，连接，
因为，且，则为等边三角形，
又四边形为菱形，则为中点，因此，
又因为平面平面，且交线为，
因此平面，
因为，因此，
因此，
因此．
由知，，，
所以与全等，
作于，连，则，为二面角的平面角，
作于，连接，又平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
四边形为菱形，所以，，
，
在中，，
因此，
在，由余弦定理得：，
，
故平面与平面的夹角的正弦值为．
19.，
利用根与系数的关系可得：，，解得，．
根据三次方程根与系数的关系可知，，，为的三个根，首先必定有一个为，
不妨设，则，为的两个根，
分解因式得，所以，，
所以三角形的三个顶点为，，，
设三角形内切圆的圆心为，半径为，
则三角形的面积，
即．
因为，
所以．
设函数．
反比例函数只存在递减区间，所以只存在递减区间，
故函数在，，，，上递减，
易得，，，为函数图象的渐近线．
所以函数的图象与直线相交于个点．
这些点的横坐标为，，
它们即为方程的所有解．
故由图象得，原不等式的解集为，
故解集中有个区间，所有区间长度之和为，
联系韦达定理：
可得一个关于的一元次方程，由韦达定理，只需考虑项与项的系数，
易得最高次项的系数为，项的系为，即．
所以有．
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