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2024-2025学年安徽省宿州二中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.已知事件，相互独立，，若，，则( )
A. B. C. D.
4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.现将红楼梦、水浒传、三国演义、西游记、史记本不同的书籍分发给甲乙丙人，每人至少分得本，已知西游记分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，且，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则下列说法正确的是( )
A.
B. 展开式中常数项为
C. 展开式中各项系数之和为
D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 对任意的实数，，函数恒有两个极值点
B. 设，为的极值点，则
C. 当时，若在上有最大值，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，且，则 ______．
13.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
14.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
16.本小题分
解关于的不等式：．
关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
17.本小题分
甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为．
当时，求甲第二局获胜的概率．
设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为．
求；
记这场比赛需要进行的局数为，求的分布列与期望．
18.本小题分
某市一个社区微信群“步行者”有成员人，其中男性人，女性人，现统计他们平均每天步行的时间，得到频率分布直方图，如图所示：
若规定平均每天步行时间不少于小时的成员为“步行健将”，低于小时的成员为“非步行健将”已知“步行健将”中女性占．
填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为步行健将与性别有关”；
步行健将 非步行健将 总计
男性
女性
总计
现从“步行健将”中随机选派人参加全市业余步行比赛，求人中男性的人数的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
19.本小题分
已知函数．
若为实数，试讨论方程的根个数；
证明：；
若点在的图象上运动，求点到直线距离的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ或，
，
．
Ⅱ，
，
当时，则，得．
当时，可得
，即，
综上，实数的取值范围为．
16.解：因为解得，．
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
关于的不等式在上有解，
则在上有解，
所以．
因为，所以．
所以，
故实数的取值范围为．
17.解：设“甲第局获胜”，其中，，，
依题意得，当时，
由全概率公式得，
所以甲第二局获胜的概率为；
甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为，依题意得，解得；
的可能取值为，，
，
，
所以的分布列为：


．
18.据频率分布直方图，“步行健将”的人数为，其中女性有人，填写表格如下：
步行健将 非步行健将 总计
男性
女性
总计
故，
故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为步行健将”与性别有关”；
依题意知的可能取值为，，，
所以，，，
分布列为：
故．
19.由于函数，那么导函数，
当时，，当时，，
那么函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，函数取得极小值，
且当时，，当时，，函数的图象如图：
由于的根个数即图象与的交点个数．由图知，
当和时，与只有一个交点，此时方程有个实根；
当时，与有两个交点，此时方程有个实根；
当时，与没有交点，此时没有实根．
根据，，
因此可构造，那么导函数，
当时，，当时，，
因此函数在上为减函数，在上为增函数，
所以根据，可得，
所以根据在上为增函数，可得，
因此可得．
设点，易知当曲线在处的切线与平行时，
点到的距离最小，
又导函数，那么有．
令函数，那么导函数，
易知，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且时，，又，因此，那么，
故到直线的距离即点到直线距离的最小值，为．
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