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2024-2025学年吉林省白山市五校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市市场监管局为了了解饮料的质量，从该市区某超市在售的种饮料中抽取了种饮料，对其质量进行了检查在这个问题中，是( )
A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本量
2.已知向量满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.设有三个命题：直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；棱长都相等的直四棱柱是正方体；四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
4.已知随机事件和互斥，和对立，且，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.欧拉恒等式为虚数单位，为自然对数的底数被称为数学中最奇妙的公式它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.如图，为了测量河对面，两建筑物之间的距离，小胡同学在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶米至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两建筑物之间的距离为( )
A. B. C. D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据：，，，，，，，则( )
A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的方差为
C. 这组数据的极差为 D. 这组数据的第百分位数为
10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11.下列关于平面向量的说法中，正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C.
D. 若非零向量，满足，且，不共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，复数对应的点为，则 ______．
13.已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为______．
14.如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
求；
设向量，的夹角为，求的值．
16.本小题分
如图，在正四棱锥中，，．
求四棱锥的体积；
求四棱锥的表面积．
17.本小题分
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本成绩均在内，将所得成绩分成组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示．
求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到
从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人进行数学学习经验的分享，求选出的人中恰有一人成绩在中的概率．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且的面积为
求角的大小；
若，，是的一条中线，求线段的长．
19.本小题分
如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段含端点上运动，设．
当平面时，求实数的值；
当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.向量，，
则，
，
则，解得，
故，
，
所以；
，，，
则．
16.解：连接，，记，连接，如图所示．
由正四棱锥的特征可得平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，
所以，
所以四棱锥的体积；
取的中点，连接，，如图所示．
因为平面，平面，所以，所以，
所以四棱锥的表面积．
17.解：由题意知，
解得，
数学成绩的平均数为：
，
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为，，
所以该校数学成绩的中位数，
则，解得；
抽取的人中，分数在内的有，
在内的有人，
记在内的人为，，，，在内的人为，
从人中任取人，有，，，，，，，，，共种，
选出的人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共种，
故所求概率为．
18.解：因为，
所以，
解得，又，可得．
根据余弦定理，，
所以，，解得，
因为为的中点，则为边的中线，
根据平行四边形对角线的平方的和等于四条边的平方和，可得，
．
即线段的长度为．
19.解：连接，交于点，连接，则为的中点，
且平面平面，
平面，平面，
，
为的中点，
即实数的值为．
在直三棱柱中，平面，平面，
，
，，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
，
过点作于点，
，
又，面，面，
平面，
又面，
平面平面，
延长交于点，，
过点作交于点，过点作于点，
是平面与平面所成锐二面角的平面角，
，，，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
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