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2024-2025学年安徽省六安市善新高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.某圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方体中，直线与平面的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内
6.已知，表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：单位：分、、、、、、、、、、、、、、，则这人成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
8.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )
“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
“当为某一实数时，可使”是不可能事件；
“明天上海要下雨”是必然事件；
“从个灯泡中取出个，个都是次品”是随机事件．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数：满足，则( )
A. B. 的实部为
C. 的共轭复数为 D. 在复平面中对应的点位于第四象限
10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计这名学生竞赛成绩的第百分位数为
C. 估计这名学生竞赛成绩的众数为
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部为______．
13.一个金属模具的形状、大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分那么该模具的体积为______．
14.为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，三个年级学生人数之比依次为：：已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为______人
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，，且是纯虚数．
求实数的值；
若是方程的根，求实数，的值．
16.本小题分
如图，在正方体中，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线和平面所成的角．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点．
证明：平面；
Ⅱ若，且，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知一组样本量为的样本数据如下：
求这组数据的平均数和标准差；
求这组数据的和分位数；
已知另一组样本数据的样本量为，平均数为，方差为，求这两组样本组成的总体的平均数和方差．
19.本小题分
某零食超市某天接待了名顾客，老年人，中青年人，少年人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取人，以评分方式进行满意度回访将统计结果按照，，，，分成组，制成如下频率分布直方图：
求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数；
求频率分布直方图中的值；
估计当天游客满意度分值的分位数．
参考答案
1.
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5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
因为是纯虚数，所以，
解得．
若是方程的根，则，
也是该方程的根，则，
即，所以，．
16.解：证明：，平面，平面，
平面．
证明：在正方体中，可得平面，
又平面，，
由四边形是正方形，可得，
又，，平面，
平面；
解：取与的交点为，连接，
由知平面，
平面，
为直线和平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，
，
，
直线和平面所成的角为．
17.解：证明：取的中点，连接，，
因为，分别为中点，所以且，
因为，所以，
因为为中点，所以且，
即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
Ⅱ因为，且，所以，，
所以的面积为，
设三棱锥的高为，
则，
，
解得，
即点到平面的距离为．
18.已知一组样本量为的样本数据如下：，，，，，，，，，，
平均数，
方差，
所以标准差为；
因为，所以分位数为，
，所以分位数是第个数，为，
已知另一组样本数据的样本量为，平均数为，方差为，
第一组：，
第二组：，
所以，
．
19.由题意，老年、中青年、少年的人数比例为：：：：，
抽取的样本中老年人数为人，中青年人数为人，少年人数为人．
由题意可得．
解得．
设当天游客满意度分值的分位数为，
，
．
位于区间内，则，
解得，估计当天游客满意度分值的分位数为．
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