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2024-2025学年陕西省西安市高新唐南中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于数据，，，，，，下列说法错误的是( )
A. 平均数为 B. 众数为 C. 极差为 D. 中位数为
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，则集合中的子集个数为( )
A. B. C. D.
4.设集合，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，所对的边分别为，，，且：：：：，则( )
A. B. C. D.
6.已知点为抛物线：的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为锐角，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. 当时，
B. ，都有
C. 的解集为，
D. 的单调递增区间是，
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，过点的直线与的两条渐近线分别交于点，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 与仅有公共点的直线共有三条
C. 若，且为线段的中点，则的方程为
D. 若与相切于点，则，的纵坐标之积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则______．
13.已知函数在处有极大值，则______．
14.某半球形容器如图所示，底面圆的半径为往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图所示，则小球的表面积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，图象的一条对称轴是直线．
求，并求函数的对称中心；
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的值域．
16.本小题分
设椭圆的左右顶点分别为，，左右焦点，已知，．
求椭圆方程；
若斜率为的直线交椭圆于，两点，与以，为直径的圆交于，两点若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，是的中点，将沿折起至的位置，使得二面角的大小为如图，，分别是，的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求实数的值；
若函数有两个不同的零点，，且，
求实数的取值范围；
试比较与的大小关系，并说明理由．
19.本小题分
已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取个球交换放入对方的盒中，重复次这样的操作记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为．
求，和，；
证明：为等比数列；
求的数学期望用表示．
参考答案
1.
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9.
10.
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13.
14.
15.由题意，，，
，，
又，
，
令，，
则，，
，的对称中心为，；
，，
解得，，
递增区间为，；
，
，
，
在上值域为．
16.解：由题意由椭圆性质有，，，
解得，，所以，
所以椭圆方程为．
设直线为，，，
由题意有，以为直径的圆的方程为，
则圆心到直线的距离，即，
所以，
联立，消去并整理得，
，解得，又，所以，
则，，
，
又因为，
所以，解得，
又，所以，
所以直线的方程为：或．
17.证明：如图，取的中点，连接，，
因为是的中点，，所以，
又，所以四边形是平行四边形，
因为是的中点，所以，平面，平面，
所以平面
又是的中点．，
平面，平面，平面，
因为，，平面
所以平面平面，
又平面，所以平面．
解：取的中点，连接，，，
在图中，因为，所以与是等边三角形，
所以在图中，，，所以，
以为原点，射线为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，即，
由题可知，平面的一个法向量为，
由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为，
18.函数，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，
经验证，符合题意，所以．
函数有两个不同的零点，，
等价于方程有两个不同的根，，
等价于函数的图象与直线有两个不同的交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当从大于的方向趋近于时，在，当时，，
所以的取值范围为．
，不妨令，，
由知，，即，而，
只需证明，即证，令，
令，求导得，
函数在上单调递减，，即，
因此，所以．
19.解：若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为白黑，
乙盒中的球变为白黑，概率为．
若甲盒中取白球，乙盒中取白球，互换，则甲盒中的球仍为白黑，乙盒中仍为白，概率．
研究次交换球的概率，根据第次交换球的结果讨论如下：
当甲盒中的球为白黑．乙盒中的球为白黑时，对应的概率为，
此时，若甲盒取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为白黑，
乙盒中的球仍为白黑，
概率为；
若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为白，乙盒中的球变为黑，概率为；
若甲盒中取白球，乙盒中取黑球，则甲盒中的球变为白黑，乙盒中的球变为白，概率为；
若甲盒中取白球，乙盒中取白球，则甲盒中的球仍为白黑，乙盒中的球仍为白黑，概率为．
当甲盒中的球为白黑，乙盒中的球为白时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为白黑，
乙盒中的球变为白黑，概率为，
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为白黑，乙盒中的球仍为白，概率为，
综上，，．
证明：依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有个白球的概率为，
恰有个白球的概率为，则甲盒中恰有个白球的概率为，
研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下：
当甲盒中的球为白黑时，乙盒中的球为白黑时，对应概率为，
此时，若甲盒中取黑球，乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为白黑，
乙盒中的球仍为白黑，概率为；
若甲盒中取黑球，乙盒取白球，互换，
则甲盒中的球变为白，乙盒中的球变为黑，概率为，
若甲盒取白球，乙盒取黑球，互换，
则甲盒中的球变为白黑，乙盒中的球变为白黑，概率为；
若甲盒取白球，乙盒取黑球，互换，
则甲盒中的球变为白黑，乙盒中的球变为白，概率为，
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，
则甲盒中的球仍为白黑，乙盒中的球仍为白黑，概率为．
当甲盒中的球为白黑时，乙盒中的球为白时，对应概率为，
此时，若甲盒中取黑球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为白黑，
乙盒中的球变为白黑，概率为；
若甲盒中取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为白黑，
乙盒中的球仍为白，概率为．
当甲盒中的球为白，乙盒中的球为黑时，对应概率为，
此时，甲盒中只能取白球，乙盒中只能取黑球，互斥，则甲盒中的球变为白黑，
乙盒中的球变为白黑，乙盒只能取黑球，互换，
由甲盒中的球变为白黑，乙盒中的球变为白黑，概率为．
综上，，
，
，
整理得，
，
数列是公比为的等比数列．
由知，
，
随机变量的分布列为：


．
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