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高考数列求和题解析
泰州市第三高级中学 曹武军
数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。本文归纳近几年高考求数列{an}前n项和的常用方法，供同学们参考。
一、直接求和法
等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
例1 （2009年湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】
A．13 B．35 C．49 D． 63
解: 故选C.
或由,
所以故选C.
例2 （2009 年宁夏海南卷文）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= .
【答案】
解：由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。
二、分组求和法
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，可采用分组分别求和的方法。
例3 （2008年浙江文）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：
（Ⅰ）的值； （Ⅱ）数列的前项的和的公式。
解：（Ⅰ）由
Ⅱ
p=1,q=1
(Ⅱ)
例4 （2007年浙江文19）已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．
(I)求及 (n≥4)(不必证明)；
(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n．
解：(I) 方程的两个根为．
当k＝1时，，所以；
当k＝2时，，所以；
当k＝3时，，所以；
当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以
（Ⅱ）＝．
三、倒序相加法
等差数列的前项和的求法就是采用这种办法，即一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前项和。
例5（2003年上海春招高考题）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .
解析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，
，
，
发现正好是一个定值， ，.
四、错位相减法
若数列{an}{bn}分别为等差数列和等比数列，求数列{an·bn}的前n项和就可以用这一方法。
例6 （2007年山东理17）设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：(I)
验证时也满足上式，
(II) ，


，

例7 (2008年陕西文)已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）数列的前项和．
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设…， ①
则…，②
由①②得
…，
．又…．
数列的前项和 ．
此外还有一些数列求和方法，比如裂项相消法、待定系数法、数学归纳法等等，相应的技巧也应重视。

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