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2024-2025 学年广东省东莞市海德双语学校高二下学期港澳台、华侨联
考班期末考试数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { |1 ≤ < 4}， = { | = ln( 2 2 3)}，则 ∩ 等于( )
A. (3,4] B. ( ∞, 1) ∪ [1, + ∞) C. (3,4) D. ( ∞, 1) ∪ [4, + ∞)
2.已知复数 满足 zi = 1 + 2i(i 为虚数单位)，则| | =( )
A. 5 B. 3 C. 5 D. 3
3.函数 ( ) = ln 的单调递增区间是( )
A. ( ∞, e) B. (0, e) C. 0, 1 D. 1 e , + ∞
4 5.设 ∈ ，则“ < 1”是“ > 5”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.若多项式 ( )满足 (2) = 2， ( 1) = 7，则 ( )被 2 2 除所得的余式为( )
A. 3 + 4 B. 3 4 C. 3 + 4 D. 3 4
6.在等差数列 中， 9 + 11 = 10，则数列 的前 19 项之和为( )
A. 98 B. 95 C. 93 D. 90
7.已知 = 1 是函数 ( ) = 3 3 + 2 的极小值点，那么函数 ( )的极大值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
8.函数 ( ) = 1 1 4 2的大致图象是( )
A. B. C. D.
9.函数 = 1 ( ≤ 1)的反函数是( )
A. = 2 1( 1 ≤ ≤ 0) B. = 2 1(0 ≤ ≤ 1)
C. = 1 2( ≤ 0) D. = 1 2(0 ≤ ≤ 1)
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10 1.已知等比数列 的前 项和为 ，且 = 3 × 2
， ∈ ，则 4 =( )
A. 133 B. 5 C.
17 22
3 D. 3
11.函数 ( ) = 1 2 + 3 的最大值为( )
A. 23 B. 1 C.
5 13
3 D. 6
12.某公司将包括 2 名女员工在内的 5 名员工派往 3 个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至
少去一人，则 2 名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有( )
A. 24 B. 32 C. 36 D. 48
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13.曲线 = 1 过点 (1,0)的切线方程为 ．
14.若函数 = ( )的定义域是[ 1,1]，则函数 = (log2 )的定义域是
15 2.已知 > 1，当 = 时，代数式 + 1有最小值．
16.函数 ( ) = log1 2 2 3 2 的单调递增区间为 ．
2

17.已知函数 =
3 , ≤ 2
2 2 + , > 2的值域是( ∞,9]，则实数 的取值范围是 ．
18.已知定义域是 的函数 ( )满足： ∈ R， (4 + ) + ( ) = 0， (1 + )为偶函数， (1) = 1，则
(2023) = ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 15 分)
6
已知 5 1 ．
(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．
20.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 1 = 5， +1 2 = 3 ( ∈ ).记 = 3 .
(1)求证：{ }是等比数列；
(2)设 = ，求数列{ }的前 项和．
21.(本小题 15 分)
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甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无
论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8.由抽签确定第 1 次投篮
的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5．
(1)求第 2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 = 1 = 1 = 0 = , = 1,2, , ，则

=1 =
=1 .记前 次(即从第 1 次到第 次投篮)中甲投篮的次数为 ，求 ( )．
22.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 +
(1)当 = 3 时，求 ( )的极值；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 > 0，求 ( )在区间[0,1]的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.4 + 4 = 0
14.[ 12 , 2]
15.1 + 2
16. ∞, 12
17.(8,17]
18. 1
1 6 319【. 详解】(1) 5 展开式的通项为 = C (5 )6 +1 6
1 = C 56 6 ( 1)
6 2 ， = 0,1,2, , 6，
展开式一共 7 项，中间一项为第 4 项， = 3，
9 3
34 = C6 53 ( 1)3
6 2 = 2500 2．
(2)令 6 32 = 0，解得 = 4．
5 = C4 526 ( 1)4 0 = 375，故展开式中常数项的值 375．
20.【详解】(1)由已知，∵ +1 2 = 3 ，∴ +1 = 3 + 2 ，
∵ = 3 ，
∴ +1 +1 = +1 3 = 3 + 2 3 × 3 = 2 2 × 3 = 2 3 = 2 ，
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又∵ 1 = 5，∴ 11 = 1 3 = 5 3 = 2，
∴ { } 易知数列 中任意一项不为 0，∴ +1 = 2，
∴数列{ }是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
(2)由第(1)问， = 2 × 2 1 = 2 ，∴ = = 2 ，
∴设数列{ }的前 项和为 ，则
= 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + 2 ①，
① × 2 得，
2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + 2 +1②，
① ②得，
= 2 + 22 + 23 + 24 + + 2 2 +1，

∴ =
2 1 2
1 2 2
+1 = 2 + 2 +1 2 +1，
∴ = 2 + ( 1)2 +1．
∴数列{ }的前 项和为 2 + ( 1)2 +1．
21.【详解】(1)记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以， 2 = 1 2 + 1 2 = 1 2| 1 + 1 2| 1
= 0.5 × (1 0.6) + 0.5 × 0.8 = 0.6．
(2)设 = ，依题可知， = 1 ，则
+1 = +1 + +1 = +1| + +1| ，
即 +1 = 0.6 + (1 0.8) × 1 = 0.4 + 0.2，
构造等比数列 + ，
+ = 2设 +1 5 +
1 1 2 1
，解得 = 3，则 +1 3 = 5 3 ，
= 1又 1 2 ,
1
1 3 =
1 1 1 2
6，所以 3 是首项为6，公比为5的等比数列，
1 1 2 1 1 2 1 1
即 3 = 6 × 5 , = 6 × 5 + 3．
(3) = 1 × 2
1
+ 1因为 6 5 3， = 1,2, , ，
1 2


所以当 ∈ N ( ) = + + + = 1 × 5 + = 5 2 时， 1 2 6 1 + ，1 2 3 18 5 35
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故 ( ) = 518 1
2 + 5 3．
22.【详解】(1)当 = 3 时 ( ) = 2 3 3 2 + 定义域为 ，
且 ′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1)，
所以当 < 0 或 > 1 时 ′( ) > 0，当 0 < < 1 时 ′( ) < 0，
所以 ( )在 = 0 处取得极大值，在 = 1 处取得极小值，
即 ( )极大值 = (0) = ， ( )极小值 = (1) = 1 + ；
(2)函数 ( ) = 2 3 2 + 定义域为 ，则 ′( ) = 6 2 2 = 2 (3 )，
令 ′( ) = 0 ，解得 = 0 或 = 3，
①当 > 0 时，则当 < 0 或 > 3时，
′( ) > 0，
当 0 < < 时， ′3 ( ) < 0，

所以 ( )的单调增区间为( ∞,0)， 3 , + ∞ ，单调减区间为 0, 3 ；
②当 = 0 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，所以 ( )在 上单调递增；

③当 < 0 时，当 < 3或 > 0 时，
′( ) > 0，当3 < < 0 时，
′( ) < 0，

所以 ( )的单调递增区间为 ∞, 3 ，(0, + ∞)，单调递减区间为 3 , 0 ，
综上可得当 > 0 时 ( )的单调增区间为( ∞,0) ， 3 , + ∞

，单调减区间为 0, 3 ；
当 = 0 时 ( )在 上单调递增；

当 < 0 时 ( )的单调递增区间为 ∞, 3 ，(0, + ∞)，单调递减区间为 3 , 0 ；
(3) 因为 > 0，由(2)可得 ( )的单调增区间为( ∞,0)， 3 , + ∞ ，单调减区间为 0, 3 ，

若3 ≥ 1，即 ≥ 3 时 ( )在[0,1]上单调递减，
所以 ( )在[0,1]上的最小值为 ( )min = (1) = 2 + ，
若 0 < 3 < 1，即 0 < < 3 时， ( )

在 0, 3 单调递减，在 3 , 1 单调递增，
3
所以 ( )在[0,1]的最小值为 ( ) = min 3 = 27 + ，
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2 + , ≥ 3
所以 ( )min = 3 ． 27 + , 0 < < 3
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