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5.1 直角三角形的性质定理
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
第5章 直角三角形
学习目标
1．进一步掌握直角三角形的性质——在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2．能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.
思考
在一个锐角为30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？
课时导入
如图5.1-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，
CD=AB=BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，∠A=30°，
因此∠B=60°.
A
B
C
)
30°
D
图5.1-5
知识讲解
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
于是△DBC是等边三角形，
因此BC=BD=AB.
由此可得：
A
B
C
)
30°
D
图5.1-5
例2
O
B
D
A
北
东
60°
图5.1-6
分析 如图5.1-6，取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D.AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险。
30海里
在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向上，且与轮船相距 30海里，如图5.1-6所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，有触礁的危险吗？（已知≈1.732）
解：如图5.1-6，取轮船航向所在的直线为OB.过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO.
在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°，
于是AD= AO= ×30
=15≈25.98（海里）.
因为AD≈25.98>20，所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
O
B
D
A
北
东
60°
图5.1-6
30海里
例2
在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向上，且与轮船相距 30海里，如图5.1-6所示.若该轮船继续保持由西向东的航向，有触礁的危险吗？（已知≈1.732）
如图5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= AB，求证：∠A=30°.
证明：（方法一）如图5.1-7，取斜边AB的
中点D，连接CD.
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
所以CD= AB=BD.
因为BC= AB，所以BC=BD=CD,
即△BDC为等边三角形.于是∠B=60°.
因为∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
B
C
A
D
例3
图5.1-7
证明方法：中线法
（方法二）如图5.1-8，延长BC到F，使CF=BG，连接AF.
因为∠BCA=90°，BC=CF，
所以AC垂直平分BF，
于是AB=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
又BC= AB，BC=CF= BF，
所以BF=AB，
因此BF＝AB=AF，即△ABF是等边三角形.
所以∠B=60°，因此∠CAB=90°-∠B=30°.
A
B
C
F
证明方法：倍长法
图5.1-8
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
由例3得出：
B
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
随 堂 小 测
2. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6 米 B．9 米
C．12 米 D．15 米
B
3. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A ＝ 150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( )
A．300a 元 B．150a 元
C．450a 元 D．225a 元
B
4. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，
∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
1
A
B
C
D
5. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则 AB =______cm.
A
C
B
第5题图
第4题图
8
因为∠B = ∠ACB = 15° (已知)，
所以∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15°= 30°，
6. 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D.
)
)
所以CD = AC = ×20 = 10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30°角的直角三角形来解决．
7. 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，
AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数．
解：因为AB⊥AC，
所以∠CAB ＝ 90°.
因为AC ＝ BC，
所以∠CBA ＝ 30°.
因为AD∥BC，
所以∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°．
所以∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°.
A
B
C
D
E
解：因为DE⊥AC，BC ⊥AC，∠A = 30°，
所以BC = AB，DE = AD.
所以BC = AB = ×7.4 = 3.7(m).
又AD = AB，
所以DE = AD = ×3.7 = 1.85 (m).
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
8.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？
内容
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：含30°角的直角三角形中
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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