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第1课时 勾股定理
第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理
学习目标
1．探索勾股定理及其逆定理.
2．能用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形.
3.能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
学习重点、难点
勾股定理及其逆定理.
重点：
难点：
勾股定理的探索与推理论证.
课时导入
我们知道，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，那么任意直角三角形三边的长度之间是否存在数量关系？下面来进行研究.
观察
如图5.2-1，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
如图5.2-1
可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5.
课时导入
我国古代数学名著《周牌算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”（如图5.2-2).这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方，对于这一结论，古人称为勾股算法.实际上，这
一结论揭示的是直角三角形三边长的平方关系，
如图5.2-2
由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论，
勾
股
弦
5
4
3
画一个边长为a+b的正方形，将其分割成4个小直角三角形和一个四边形，基中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为c，如图5.2-3所示.由此，你能探索出a2 + b2 = c2
这一结论吗
探究
如图5.2-3
由于图5.2-3中四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4个小直角三角形的面积，
因而S=(a+b) -ab×4=a +2ab+b -2ab=a +b .
在△ABE与△BCF中，
所以△ABE≌△BCF(边角边)，
因此∠1=∠3.
又∠1+∠2=90°，所以∠3+∠2=90°，
因此∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°.
同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°.
又BC=CD=DA=AB=c，因此四边形ABCD是正方形，所以S=c .
综上可知，S=a2 + b2 = c2.
由此可得：
如果直角三角形的两条直角边分别为a，6，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.
这一结论称为勾股定理.
试通过图5.2-4中两个边长为a+b的正方形的面积表达式，验证勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
a
图5.2-4
（1）
（2）
做一做
所以 （a + b）2=a2 + b2 + 2ab.
S大正方形 = （a + b）2 .
S大正方形 = S长方形① + S小正方形②+S长方形③ + S小正方形④
=ab + a2+ab+b2
= a2+b2+ 2ab.
由5.2-4中的图（1）得：
b
b
b
b
a
a
a
a
（1）
①
②
③
④
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
所以a2 + b2 = c2.
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab.
（2）
由5.2-4中的图（2）得：
例 1
在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
（1）若a=1，b=2，求c.
（2）若a=15，c=17，求b.
解：（1）根据勾股定理得，c =a +b ＝1 +2 =5.
因为c>0，所以c=.
（2）根据勾股定理得，b =c -a =17 -15 =64.
因为b>0，所以b=8.
例 2
如图5.2-5，已知在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=13 ，BC=10，AD 是底边 BC 上的高线D. 求AD的长 .
解：根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上的中线，因此BD=BC=5.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD +BD =AB ，
因此AD====12.
故AD的长为12.
图5.2-5
1. 下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
随 堂 小 测
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面
积为 cm .
8 cm
10 cm
36
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
（1）若 a = 15，b = 8，则 c = .
（2）若 c = 13，b = 12，则 a = .
17
5
4. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，
S7 的值.
S5 = S1 + S2 = 4，
S7 = S5 + S6 = 10.
S6 = S3 + S4 = 6，
S1
S2
S5
S3
S4
S6
S7
（1）若 a∶b = 1∶2 ，c =5，求 a ；
（2）若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
5. 在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
解：
（1）设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得
x2 + (2x)2 = 52，
解得
（2）∠A = 30°，b = 15，
因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得
（2x）2 - x2 = 152 ，
解得
归纳：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
所以a=.
所以c=2a.
所以a=，c=10.
6. 在 Rt△ABC 中，AB＝4，AC＝3，求 BC 的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当 AB 为斜边时，如图1，
当 BC 为斜边时，如图2，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图1
图2
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
7. 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4.
求 CD 的长.
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2 + BC2 = 25 ，即 AB = 5.
根据三角形面积公式，
所以 AC×BC = AB×CD.
所以CD = .
A
D
B
C
3
4
归纳：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢

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