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5.1 直角三角形的性质定理
第1课时 直角三角形的性质
第5章 直角三角形
学习目标
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质.定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余;
直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
会判定一个三角形是直角三角形.
重点：
难点：
性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探索推导过程.
学习重点、难点
知识回顾
前面已经知道，有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有一些特殊性质，下面我们来研究.
在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=？
说一说
如图5.1-1，在 Rt△ABC 中，因为 ∠C = 90°，由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°.
由此得到：
图5.1-1
直角三角形的两个锐角互余．　　
课时导入
（2）该逆命题是真命题吗？
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？
议一议
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
（2）该逆命题是真命题.
理由如下：
如图5.1-1，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.
因此，△ABC是直角三角形.
由此得到：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
图5.1-1
图5.1-2
如图5.1-2，用三角板画一个 Rt△ABC，取线段AB的中点D，连接DC.以点D为圆心，DB为半径画圆弧，则所画的弧经过点C吗？DC与AB之间有怎样的数量关系
可以发现，该弧经过点C，且DC=DB=AB.下面给出证明.
思考
如图5.1-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线.过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F，
于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°，∠FDC=∠ECD，∠DFB=∠ACB=90°.
在△ADE与△DBF中，
所以△ADE≌∠DBF（角角边），从而DE=BF. ①
E
F
图5.1-3
在△DFC与△CED中，
所以△DFC≌△CED（角角边），从而CF=DE. ②
由①式和②式得，CF=BF.
因此，直线DF是线段BC的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC=DB.因此DC＝DB=AB.
由此可得直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1
如图5.1-4，已知 CD 是 △ABC 的边AB上的中线，且CD= AB . 求证：△ABC 是直角三角形.
证明：因为CD=AB=AD=BD，
所以∠1=∠A，∠2=∠B.
因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2，
所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
从而2（∠A+∠B）=180°.
因此∠A+∠B=90°.
所以△ABC是直角三角形.
图5.1-4
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
随 堂 小 测
2. 具备下列条件的 △ABC 中，不是直角三角形的是（ 　）
A．∠A + ∠B = ∠C
B．∠A - ∠B = ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3
D．∠A = ∠B = 3∠C
D
3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　）
A．∠B
B．∠A
C．∠BCD 和 ∠A
D．∠BCD
C
4. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
5. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是________.
90°
6. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°.
52
第5题图
第6题图
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形．
证明：因为∠ACB = 90°，
所以∠A +∠B = 90°．
因为∠ACD = ∠B，
所以∠A +∠ACD = 90°．
所以△ACD 是直角三角形．
解：（1）因为AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，所以DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4．
所以四边形 AEDF 的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18．
8. 如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点．
（1）若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；
（2）求证：EF 垂直平分 AD.
证明：因为DE ＝ AE，DF ＝ AF，
所以E、F 在线段 AD 的垂直平分线上．
所以EF 垂直平分 AD.
归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
直角三角形的性质定理
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
小结
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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