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5．3　函数的单调性
第 1 课时　函数的单调性及其应用—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
　[课时目标]
1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．
2．理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性．
3．理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性．
4．能应用函数的单调性解决一些简单问题．
函数的单调性
前提条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A
条件 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1都有f(x1)________f(x2) 都有f(x1)______f(x2)
图示
结论 y＝f(x)在区间I上单调递增，I称为y＝f(x)的__________．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是________ y＝f(x)在区间I上单调递减，I称为y＝f(x)的________．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是__________
单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有________．________和________统称为单调区间
|微|点|助|解|　
1．对函数单调性的理解
(1)x1，x2的三个特征
①任意性：定义中“任意”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x1(2)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数”
单调递增(减)强调的是函数的局部性质，即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少)，而增(减)函数强调的是函数的整体性质，即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少)．
2．增、减函数与自变量、函数值的互推关系
①在定义域上若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)是增函数；
②在定义域上，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0或<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，即x2>x1时，f(x2)3．对单调区间的理解
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间．
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(3)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．(　 )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　 )
(3)在函数单调性的定义中，可以把“ x1，x2”改为“ x1，x2”．(　 )
(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f(x)在[3,4]上也单调递增．(　 )
2．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝－|x| D．y＝1－x
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　 )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
4．若函数f(x)在[－2,2]上是增函数，则f(－1)________f(2)．(填“>”“＝”或“<”)
题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性
[例1]　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
[针对训练]
1．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
题型(二)　求函数的单调区间
[例2]　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
听课记录：
　　|思|维|建|模|
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
[提醒]　若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
[针对训练]
2．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
题型(三)　函数单调性的简单应用
题点1　利用函数单调性求参数范围
[例3]　若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　 )
A. B.
C. D.∪
听课记录：
[例4]　若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
在例4中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，实数a的取值范围又是如何？
　|思|维|建|模|
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性
③若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符合“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．　
题点2　利用函数单调性解不等式
[例5]　已知f(x)是定义在区间[－2,2]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　
[针对训练]
3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　 )
A．f(m)f(1)
C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1)
4．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　 )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(－3，－2] D．[－3，－2]
5．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)第1课时　函数的单调性及其应用
?课前预知教材
<　>　增区间　增函数　减区间　减函数　单调性　增区间　减区间
[基础落实训练]　1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　2.CD　3.C　4.<
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　证明：设 x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为2所以x2－x1>0，x12>4，x22>4.
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减．
[针对训练]
1．证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)　[题型(二)]
[例2]　解：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增．
(2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3
＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．
[针对训练]
2．解：由题意，得y＝|x|(x－2)＝
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0)和[1，＋∞)，单调递减区间为[0,1)．
　[题型(三)]
[例3]　选A　因为f(x)是定义在R上的减函数，
所以
解得≤a＜.
[例4]　解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
因为f(x)在(－∞，3]上单调递增，
所以3≤－a－1，解得a≤－4，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
[变式拓展]
解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此的函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，所以a＝－4.
[例5]　解：由题意，得
解得0≤x≤3，　①
∵f(x)是[－2,2]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)．
所以x－2＜1－x，解得x＜，　②
由①②得0≤x＜.
所以满足题意的不等式解集为.
[针对训练]
3．选B　由题意，得m－1>0，即m>1.因为f(x)在R上是增函数，所以f(m)>f(1)．
4．选D　因为函数f(x)＝是R上的增函数，
所以解得－3≤a≤－2，
即a的取值范围是[－3，－2]．
5．解析：依题意，得不等式组
解得答案：(共58张PPT)
5.3
函数的单调性
函数的单调性及其应用
(教学方式：深化学习课 —梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.
2.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性.
3.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的单调区间,并判断单调性.
4.能应用函数的单调性解决一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
前提条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A 条件 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1图示
函数的单调性
<
>
续表
结论 y=f(x)在区间I上单调递增,I称为y=f(x)的________.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,称f(x)是________ y=f(x)在区间I上单调递减,I称为y=f(x)的_______.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,称f(x)是_______
单调 区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么称函数y=f(x)在区间I上具有_______._______ 和________统称为单调区间 增区间
增函数
减区间
减函数
单调性
增区间
减区间
|微|点|助|解| 　
1.对函数单调性的理解
(1)x1,x2的三个特征
①任意性：定义中“任意”不能去掉,应用时不能以特殊代替一般;②有大小：一般令x1(2)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数”
单调递增(减)强调的是函数的局部性质,即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少),而增(减)函数强调的是函数的整体性质,即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少).
2.增、减函数与自变量、函数值的互推关系
①在定义域上若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0或>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),所以f(x)是增函数;
②在定义域上,若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0或<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,即x2>x1时,f(x2)3.对单调区间的理解
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间.
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(3)对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x2在R上是增函数.(　 )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性.(　 )
(3)在函数单调性的定义中,可以把“ x1,x2”改为“ x1,x2”.(　 )
(4)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f(x)在[3,4]上也单调递增.(　 )
×
×
×
√
2.(多选)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　 )
A.y=- B.y=x
C.y=-|x| D.y=1-x
解析：选项A、B中的函数在(0,+∞)上都单调递增,选项C、D满足条件.
√
√
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是 (　 )
A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1] D.[-3,4]
解析：由题图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1].故选C.
√
4.若函数f(x)在[-2,2]上是增函数,则f(-1)　　　　f(2).(填“>”“=”或“<”)
解析：∵函数f(x)在[-2,2]上是增函数,且-1<2,∴f(-1)<
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性
[例1]　证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减.
证明:　设 x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)===.
因为20,>4,>4.所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
|思|维|建|模|
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
针对训练
1.试用函数单调性的定义证明：f(x)=在(1,+∞)上单调递减.
证明：易得f(x)=2+,设x1>x2>1,
则f(x1)-f(x2)=.
因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0.所以f(x1)题型(二)　求函数的单调区间
[例2]　求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)=-;
解：函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都单调递增.
(2)f(x)=
解：当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
解：因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).
f(x)在(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在(-1,0),[1,+∞)上单调递减.
|思|维|建|模|
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解.
(2)利用函数的图象,如本例(3).
[提醒]　若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3).
针对训练
2.画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.
解：由题意,得y=|x|(x-2)=
函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知,函数的单调递增区间
为(-∞,0)和[1,+∞),单调递减区间为[0,1).
题型(三)　函数单调性的简单应用
题点1　利用函数单调性求参数范围
[例3]　若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　 )
A. B.
C. D.
√
解析：因为f(x)是定义在R上的减函数,
所以
解得≤a<.
[例4]　若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
解：　f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.
因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],
因为f(x)在(-∞,3]上单调递增,所以3≤-a-1,
解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].
变式拓展
在例4中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],实数a的取值范围又是如何
解：f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此的函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由题意得-a-1=3,所以a=-4.
|思|维|建|模| 由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性
③若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小.探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符合“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
题点2　利用函数单调性解不等式
[例5]　已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)解：　由题意,得
解得0≤x≤3,　①
∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)所以x-2<1-x,解得x<,　②
由①②得0≤x<.所以满足题意的不等式解集为.
|思|维|建|模|
在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
3.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 (　 )
A.f(m)f(1)
C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)
解析：由题意,得m-1>0,即m>1.因为f(x)在R上是增函数,所以f(m)>f(1).
针对训练
√
4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是(　 )
A.(-∞,-2) B.(-∞,0) C.(-3,-2] D.[-3,-2]
解析：因为函数f(x)=是R上的增函数,
所以解得-3≤a≤-2,即a的取值范围是[-3,-2].
√
5.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)解析：依题意,得不等式组解得课时跟踪检测
1
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2
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是 (　 )
A.(0,1) 　B.(-∞,1)
C. 　D.(-∞,3)
√
A级——达标评价
1
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6
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2
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2.若f(x)在R上是减函数,则f(-1)与f(a2+1)之间有 (　 )
A.f(-1)≥f(a2+1) B.f(-1)>f(a2+1)
C.f(-1)≤f(a2+1) D.f(-1)解析：∵f(x)在R上是减函数,∴对任意x1,x2,若x1f(x2).又∵-1f(a2+1).
√
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3.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的单调递增区间依次是 (　 )
A.(-∞,0],(-∞,1] B.(-∞,0],(1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1] D.[0,+∞),[1,+∞)
解析：分别作出f(x)与g(x)的图象(图略),知f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在(-∞,1]上单调递增.故选C.
√
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4.已知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,则b的取值范围为(　 )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.R
解析：f(x)=a+,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以b>0,故选A.
√
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5.已知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 (　 )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3) D.[0,3)
解析：∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,对于f(2x-4)>-1,则0≤2x-4<2,解得2≤x<3,∴实数x的取值范围是[2,3).
√
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2
6.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　 　　.
解析：易知y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图所示.
由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞).
[-1,1]和[3,+∞)
7.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)解析：因为f(x)在区间[-1,1]上为增函数,且f(x)1
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3
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2
8.已知函数f(x)=在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
解析：根据反比例函数的单调性可知,
要使函数f(x)=在区间(-1,+∞)上单调递增,只有1-a<0,即a>1,
所以实数a的取值范围是(1,+∞).
(1,+∞)
1
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8
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15
3
4
2
9.(8分)证明函数f(x)=x+在(2,+∞)上单调递增.
证明： x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+.
因为24,x1x2-4>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)1
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3
4
2
10.(10分)已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
解：因为f(1)=m+=2,
f(2)=2m+,所以m=1,n=2.
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(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并用定义证明.
解：由(1)知f(x)=x+,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,证明如下：
设1≤x1=x1+=(x1-x2).
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因为1≤x11,
所以2x1x2>2>1.
所以<0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.
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11.已知函数f(x)=-x|x|,则不等式f(2+5m)A. B.
C.∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪
√
B级——重点培优
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解析：由函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得函数f(x)在R上单调递减.又由不等式f(2+5m)2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-1
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12.(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),下列结论正确的是 (　 )
A.函数f(x)在R上是减函数 B.f(-5)C.f(0)=0 D.f(2x-1)√
√
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解析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)1
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13.函数y=在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　 　　　.
解析：y==1+,
由题意知解得a≤-3.
(-∞,-3]
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14.(12分)已知f(x)=(x≠a) .
(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
解：证明：设x1∵x1∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
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(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
解：设1∵a>0,10,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,若a>1,则当10,∴01
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15.(12分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1.
(1)求f(1)的值.
解：令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
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(2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值.
解：因为f=1,所以f(m)=2=f+f=f=f,所以m=.
(3)若f(x-2)>2,求x的取值范围.
解：因为f(x-2)>2=f,又y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,
所以解得2(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C. D．(－∞，3)
2．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　)
A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)3．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的单调递增区间依次是(　　)
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．R
5．已知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
6．函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是________．
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)8．已知函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
9．(8分)证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
10．(10分)已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝－x|x|，则不等式f(2＋5m)A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪
12．(多选)函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上是减函数
B．f(－5)C．f(0)＝0
D．f(2x－1)13．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
14．(12分)已知f(x)＝(x≠a) .
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
15．(12分)设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.
(1)求f(1)的值．
(2)若存在实数m，使得f(m)＝2，求m的值．
(3)若f(x－2)>2，求x的取值范围．
课时跟踪检测(二十六)
1．A
2．选B　∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f(x2)．
又∵－1f(a2＋1)．
3．选C　分别作出f(x)与g(x)的图象(图略)，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在(－∞，1]上单调递增．故选C.
4．选A　f(x)＝a＋，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以b>0，故选A.
5．选C　∵函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，对于f(2x－4)>－1，则0≤2x－4<2，解得2≤x<3，∴实数x的取值范围是[2,3)．
6．解析：易知
y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图所示．
由图象可知，其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
答案：[－1,1]和[3，＋∞)
7．解析：因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x)解得－1≤x<.
答案：
8．解析：根据反比例函数的单调性可知，要使函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上单调递增，只有1－a＜0，即a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
9．证明： x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上单调递增．
10．解：(1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝，所以m＝1，n＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
设1≤x1＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x1所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以2x1x2>2>1.
所以＜0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
11．选A　由函数f(x)＝－x|x|＝根据二次函数的性质，可得函数f(x)在R上为减函数．又由不等式f(2＋5m)2m2－1，即(2m＋1)(m－3)<0，解得－12．选BD　由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，因此f(x)在R上单调递增，A错误；由－5<0<1，得f(－5)13．解析：y＝＝1＋，
由题意知解得a≤－3.
答案：(－∞，－3]
14．解：(1)证明：设x1∵x1即f(x1)∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)设1∵a>0,10，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，若a>1，则当10，∴0＜a≤1.综上所述，a的取值范围为(0,1]．
15．解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f＝1，所以f(m)＝2＝f＋f＝f＝f，
所以m＝.
(3)因为f(x－2)>2＝f，又y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以解得2

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