资源简介

(共64张PPT)
5.4
函数的奇偶性
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.　
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
　函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A 如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且___________,那么称函数y=f(x)是偶函数 如果对于任意的x∈A,都有-x∈A,并且_____________,那么称函数y=f(x)是奇函数
图象特点 图象关于________对称 图象关于_______对称
奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们称函数f(x)具有奇偶性 f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
y轴
原点
|微|点|助|解| 　
(1)奇、偶函数的对应关系的特点
①奇函数有f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 =-1(f(x)≠0);
②偶函数有f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 =1(f(x)≠0).
(2)函数奇偶性的三个关注点
①若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数;
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空集合;
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.(　 )
(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　 )
(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　 )
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.(　 )
×
×
×
×
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　 )
解析：B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.
√
3.下列函数是偶函数的是 (　 )
A.y=x B.y=3x2
C.y=x-1 D.y=|x|(x∈[0,1])
解析：选项A、C中的函数是奇函数,选项B中的函数是偶函数,选项D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数.
√
4.已知函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于 (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
解析：∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　函数奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
解：因为x∈R,所以-x∈R.
又因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=;
解：因为函数f(x)的定义域为{-1,1},
关于原点对称,且f(x)=0,
所以f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x).
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)f(x)=;
解：因为f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],
即有-1≤x≤1且x≠0,
所以-1≤-x≤1,且-x≠0.
又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(4)f(x)=
解：易知f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
　|思|维|建|模|
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：①定义域关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系.
(2)图象法：若函数f(x)的图象关于原点对称,则f(x)是奇函数;若函数f(x)关于y轴对称;f(x)是偶函数.
针对训练
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x3+x5;
解：函数f(x)的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
解：函数f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)f(x)=.
解：∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),
不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.
题型(二)　奇、偶函数的图象及应用
[例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
解：因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示.
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解：由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
变式拓展
　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,试画出在区间[-5,0]上的图象.
解：因为函数f(x)是偶函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于y轴对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示.
　|思|维|建|模|　巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
2.已知函数y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 (　 )
A.4 B.2
C.1 D.0
解析：因为f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的.故所有实根之和为0.
√
针对训练
3.如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.
解：法一：∵函数f(x)是偶函数,∴图象关于y轴对称,补全图象如图所示.
由图象可知f(1)法二：由题图可知f(-1)∵函数y=f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).
∴f(1)题型(三)　函数奇偶性的应用
题点1　利用函数的奇偶性求参数值
[例3]　已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　.
解析：因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6.所以(-3)2+a(-3)=-6.解得a=5.
5
[例4]　若函数f(x)=ax2+(b-1)x+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b=　　　　.
解析：因为定义域[a-1,2a]关于原点对称,所以(a-1)+2a=0.解得a=.
所以f(x)=x2+(b-1)x+1+b.
又f(-x)=f(x),所以x2-(b-1)x+1+b=x2+(b-1)x+1+b.
由对应项系数相等得-(b-1)=b-1.所以b=1.所以a+b=+1=.
|思|维|建|模|　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数
解析式含参数 根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解
题点2　利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5]　已知函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,
则函数f(x)的解析式为　 　　　.
f(x)=
解析：当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x).所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.
综上可得,函数f(x)的解析式为f(x)=
变式拓展
若本例条件改为“f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-2x2+3x+1”,求函数f(x)的解析式.
解：当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为f(x)=
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于(　 )
A.-2 B.0
C.1 D.2
解析：因为当x>0时,f(x)=x2+,所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.
√
针对训练
5.若函数f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f=(　 )
A.1 B.
C. D.3
√
解析：∵f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,∴f(-x)=f(x),即a(-x)4-(a-2b)x+a-1=ax4+(a-2b)x+a-1.∴a-2b=0.又定义域关于原点对称,∴2a-2=a,解得a=2,b=1.∴f(x)=2x4+1.∴f=f(1)=3.
课时跟踪检测
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1.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为 (　 )
A.-2 B.2
C.1 D.0
√
A级——达标评价
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解析：由题图知f(1)=,f(2)=.因为f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-=-2.故选A.
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2.下列函数为偶函数的是 (　 )
A.f(x)=x3 B.f(x)=+x
C.f(x)=x2 D.f(x)=-2x
√
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解析：对于A,f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为奇函数,故A错误;对于B,f(x)=x+定义域为{x|x≠0},且f(-x)=-x-=-=-f(x),故f(x)=x+为奇函数,故B错误;对于C,f(x)=x2的定义域为R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x),故f(x)=x2为偶函数,故C正确;对于D,f(x)=-2x的定义域为R,且f(-x)=2x=-f(x),故f(x)=-2x为奇函数,故D错误.
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3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是 (　 )
A.(a,-f(a)) B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a))
解析：因为y=f(x)为奇函数,f(-a)=-f(a),故点(-a,-f(a))在y=f(x)的图象上.
√
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4.已知f(x)为定义在R上的函数,f(2)=2,且g(x)=f(2x)+x2为奇函数,则f(-2)= (　 )
A.-4 B.-2
C.0 D.2
解析：因为g(x)=f(2x)+x2是奇函数,所以g(-1)+g(1)=f(-2)+1+f(2)+1=0,即f(-2)=-4.
√
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5.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=x+1,则下列大小关系正确的是 (　 )
A.f(1)>f(2) B.f(1)>f(-2)
C.f(-1)>f(-2) D.f(-1)解析：∵当x≥0时,f(x)=x+1单调递增,∴f(1)√
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6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.
解析：由已知得,f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,因为函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=12.
12
7.设函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],则f(x)=　　　　　.(写出一个正确答案即可)
解析：因为函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],不妨取f(x)=-x2+1,二次函数f(x)=-x2+1的对称轴为y轴,该函数为偶函数,且f(x)=-x2+1≤1,即函数f(x)=-x2+1的值域为(-∞,1],符合题意.
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-x2+1
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8.设函数f(x)=为奇函数,则a=　　　　.
解析：因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-.显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a.故a+1=0,得a=-1.
-1
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9.(8分)已知函数f(x)=x-的图象经过点(2,1).
(1)求a的值;
解：因为函数f(x)=x-的图象经过点(2,1),
所以f(2)=1,即2-=1.解得a=2.
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(2)判断f(x)的奇偶性.
解：由(1)知f(x)=x-,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=-x-=-x+=-=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
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10.(10分)已知函数f(x)满足下列3个条件：
①函数f(x)的图象关于原点对称;②函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;③函数f(x)过定点(1,-2).
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(1)请猜测出一个满足题意的函数f(x),并写出其解析式;
解：由f(x)的图象关于原点对称知f(x)为奇函数.又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴可猜想f(x)=kx(k<0),∴f(1)=k=-2.∴猜测一个满足题意的函数为f(x)=-2x.
(2)求(1)中所猜函数在[-3,-2]上的最大值.
解：易知函数f(x)=-2x在[-3,-2]上单调递减,∴f(x)max=f(-3)=6.
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11.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[-2,2],它们在[0,2]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为 (　 )
A.(-2,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)
√
B级——重点培优
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解析：由题图,知当00,g(x)>0,f(x)·g(x)>0;当10,f(x)·g(x)<0,故当x>0时,其解集为(1,2).∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(x)·g(x)是奇函数.由奇函数的对称性可得,当x<0时,其解集为(-1,0).综上,不等式f(x)·g(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,2).
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12.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)+f(x)=2f(x)
C.f(-x)·f(x)≤0 D.=-1
√
√
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解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0,则f(-x)+f(x)=0,所以A正确,B错误;又f(-x)·f(x)=-[f(x)]2≤0,所以C正确;因为当x=0时,f(0)=0,此时式子无意义,所以D错误.故选A、C.
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13.已知函数f(x)是定义在[-3,0)∪(0,3]上的奇函
数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域
是　　 　　.
解析：因为当0[-3,-1)∪(1,3]
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14.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=-x+1.　
(1)求f(0),f(2);
解：∵当x≤0时,f(x)=-x+1,∴f(0)=1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(2)=f(-2)=-(-2)+1=3,即f(2)=3.
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(2)求函数f(x)的解析式.
解：令x>0,则-x<0,从而f(-x)=x+1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(-x)=x+1.
∴当x>0时,f(x)=x+1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
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15.(12分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f,且当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求证：函数f(x)是奇函数;
解：证明：令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),即f(0)=0.
任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),f(x)+f(-x)=f=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
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(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
解：任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f.
因为-10,x2-x1>0,
所以1-x1x2-x2+x1=(1-x2)(1+x1)>0,即1-x1x2>x2-x1.
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所以0<<1.所以f<0,
即f(x2)-f(x1)<0,得f(x2)所以函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减.
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(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.
解：f(x-1)+f(x)<0,即f(x-1)<-f(x)=f(-x).
因为函数单调递减,所以需满足解得所以不等式的解集为.5．4　函数的奇偶性—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A
如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数 如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且________，那么称函数y＝f(x)是奇函数
图象特点 图象关于______对称 图象关于______对称
奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性
|微|点|助|解|　
(1)奇、偶函数的对应关系的特点
①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
(2)函数奇偶性的三个关注点
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　 )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　 )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　 )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　 )
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　 )
3．下列函数是偶函数的是(　 )
A．y＝x B．y＝3x2
C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1])
4．已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　 )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
题型(一)　函数奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
听课记录：
|思|维|建|模|
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法：若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；若函数f(x)关于y轴对称；f(x)是偶函数．　　
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
题型(二)　奇、偶函数的图象及应用
[例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
　　
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
听课记录：
[变式拓展]
　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
|思|维|建|模|　巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
[针对训练]
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　 )
A．4 B．2
C．1 D．0
3．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
题型(三)　函数奇偶性的应用
题点1　利用函数的奇偶性求参数值
[例3]　已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
听课记录：
[例4]　若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|　利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数
解析式含参数 根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解
题点2　利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5]　已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则函数f(x)的解析式为________.
听课记录：　
[变式拓展]
　若本例条件改为“f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1”，求函数f(x)的解析式．
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．　　
[针对训练]
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　 )
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．若函数f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f＝(　 )
A．1 B.
C. D．3
5．4　函数的奇偶性
?课前预知教材
f(－x)＝f(x)　f(－x)＝－f(x)　y轴　原点
[基础落实训练]　1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　2.B　3.B　4.C
?课堂题点研究
　[题型(一)]
[例1]　解：(1)因为x∈R，所以－x∈R.
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)．
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，
即有－1≤x≤1且x≠0，所以－1≤－x≤1，且－x≠0.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(4)易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
[针对训练]
1．解：(1)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
　[题型(二)]
[例2]　解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图实线部分所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
[变式拓展]
解：因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图实线部分所示．
[针对训练]
2．选D　因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的．故所有实根之和为0.
3．解：法一：∵函数f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，补全图象如图所示．
由图象可知f(1)＜f(3)．
法二：由题图可知f(－1)＜f(－3)．
∵函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．
　[题型(三)]
[例3]　解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6.所以(－3)2＋a(－3)＝－6.解得a＝5.
答案：5
[例4]　解析：因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝.
所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
又f(－x)＝f(x)，所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b.由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.
答案：
[例5]　解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)．所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
综上可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
[变式拓展]
解：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为f(x)＝
[针对训练]
4．选A　因为当x>0时，f(x)＝x2＋，
所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
5．选D　∵f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)4－(a－2b)x＋a－1＝ax4＋(a－2b)x＋a－1.∴a－2b＝0.又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，解得a＝2，b＝1.
∴f(x)＝2x4＋1.∴f＝f(1)＝3.课时跟踪检测(二十八)　函数的奇偶性
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．0
2．下列函数为偶函数的是(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝＋x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝－2x
3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是(　　)
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
4．已知f(x)为定义在R上的函数，f(2)＝2，且g(x)＝f(2x)＋x2为奇函数，则f(－2)＝(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
7．设函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，则f(x)＝__________.(写出一个正确答案即可)
8．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
9．(8分)已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
10．(10分)已知函数f(x)满足下列3个条件：
①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③函数f(x)过定点(1，－2)．
(1)请猜测出一个满足题意的函数f(x)，并写出其解析式；
(2)求(1)中所猜函数在[－3，－2]上的最大值．
B级——重点培优
11．已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[－2,2]，它们在[0,2]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为(　　)
A．(－2，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(－1,0)∪(1,2) D．(－2，－1)∪(1,2)
12．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)＋f(x)＝2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D.＝－1
13.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________．
14．(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝－x＋1.　
(1)求f(0)，f(2)；
(2)求函数f(x)的解析式．
15．(12分)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足对任意的x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f，且当x∈(0,1)时，f(x)<0.
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性；
(3)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.
课时跟踪检测(二十八)
1．选A　由题图知f(1)＝，f(2)＝.因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－－＝－2.故选A.
2．选C　对于A，f(x)＝x3的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，故A错误；对于B，f(x)＝x＋定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，故f(x)＝x＋为奇函数，故B错误；对于C，f(x)＝x2的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故f(x)＝x2为偶函数，故C正确；对于D，f(x)＝－2x的定义域为R，且f(－x)＝2x＝－f(x)，故f(x)＝－2x为奇函数，故D错误．
3．选C　因为y＝f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)，故点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．
4．选A　因为g(x)＝f(2x)＋x2是奇函数，所以g(－1)＋g(1)＝f(－2)＋1＋f(2)＋1＝0，即f(－2)＝－4.
5．选D　∵当x≥0时，f(x)＝x＋1单调递增，∴f(1)6．解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
7．解析：因为函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，不妨取f(x)＝－x2＋1，二次函数f(x)＝－x2＋1的对称轴为y轴，该函数为偶函数，且f(x)＝－x2＋1≤1，即函数f(x)＝－x2＋1的值域为(－∞，1]，符合题意．
答案：－x2＋1
8．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a.故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
9．解：(1)因为函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)，
所以f(2)＝1，即2－＝1.解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x－＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．解：(1)由f(x)的图象关于原点对称知f(x)为奇函数．又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴可猜想f(x)＝kx(k<0)，∴f(1)＝k＝－2.∴猜测一个满足题意的函数为f(x)＝－2x.
(2)易知函数f(x)＝－2x在[－3，－2]上单调递减，∴f(x)max＝f(－3)＝6.
11．选C　由题图，知当00，g(x)>0，f(x)·g(x)>0；当10，f(x)·g(x)<0，故当x>0时，其解集为(1,2)．∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(x)·g(x)是奇函数．由奇函数的对称性可得，当x<0时，其解集为(－1,0)．综上，不等式f(x)·g(x)<0的解集是(－1，0)∪(1,2)．
12．选AC　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(－x)＋f(x)＝0，所以A正确，B错误；又f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，所以C正确；因为当x＝0时，f(0)＝0，此时式子无意义，所以D错误．故选A、C.
13．解析：因为当0答案：[－3，－1)∪(1,3]
14．解：(1)∵当x≤0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(0)＝1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(2)＝f(－2)＝－(－2)＋1＝3，即f(2)＝3.
(2)令x>0，则－x<0，从而f(－x)＝x＋1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝x＋1.
∴当x>0时，f(x)＝x＋1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
15．解：(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，即f(0)＝0.
任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)，
f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)在(－1,1)上为奇函数．
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f.
因为－10，x2－x1>0，
所以1－x1x2－x2＋x1＝(1－x2)(1＋x1)>0，即1－x1x2>x2－x1.
所以0<<1.
所以f<0，
即f(x2)－f(x1)<0，得f(x2)所以函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减．
(3)f(x－1)＋f(x)<0，即f(x－1)<－f(x)＝f(－x)．
因为函数单调递减，
所以需满足
解得所以不等式的解集为.

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