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4.2指数函数题型总结
题型一、指数函数的概念
1．下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
2．函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
题型二、求指数函数的解析式、函数值
3．已知指数函数的图象经过，试求和的值．
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
4．当生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物体内的碳14至少经过的“半衰期”个数是（参考数据：）（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
题型四、指数函数的图象及应用
6．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
7．函数(是自然底数)的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
8．若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．
9．（1）若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______；
（2）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是______．
题型五、指数型函数的定义域和值域
10．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
11．（1）函数的定义域是____________，值域是____________．
（2）函数的定义域是____________，值域是____________．
12．函数的值域为_ ___.
题型六、比较大小
13．比较下列几组值的大小：
(1)和； (2)和； (3)和； (4)，，．
14．比较下列各题中的两个值的大小．
(1)0.8－0.1，1.250.2； (2)，1； (3)0.2－3，（－3）0.2.
题型七、简单的指数不等式的解法
15．关于的不等式的解集为___ ___;
16．设 a>0，且a≠1，解关于x的不等式
题型八、指数型函数的单调性
17．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．
(1)求f（x）的解析式；
(2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．
18．已知函数为上的偶函数，当时，．
(1)求时，的解析式；
(2)写出函数的单调增区间；
(3)若，求的取值范围．
19．已知函数（且）的图象经过点.
(1)求a的值；
(2)设，
①求不等式的解集；
②若恒成立，求实数k的取值范围.
跟踪训练
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1)
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
2．若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
3．已知函数是指数函数，且，则______．
4．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．
（1）y关于x的函数解析式为______；
（2）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．
5．已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：
(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？
(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的？
(3)质量为的氡经天衰变后其质量为，试用计算器求的值.
6．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
8．函数恒过定点___________．
9．已知函数的定义域为，则_________．
10．函数的值域是__________.
11．函数的值域为_________．
12．求下列函数的定义域：
(1)； (2).
13．（1）已知函数．
①求函数的定义域、值域；
②确定函数的单调区间．
（2）画出函数的图象，并依据图象指出它的相关性质．
14．比较下列各组中两个数的大小：
(1)和； (2)和； (3)和； (4)和．
15．下列各数中，哪些大于1，哪些小于1？
，，，.
16．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（1）求的值域；
（2）解不等式（且）.
18．已知函数(，且)是指数函数.
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式.
19．已知函数且．
(1)解不等式；
(2)当时，若，，，求的取值范围．
4．2指数函数题型总结答案
题型一、指数函数的概念
1．【详解】① 的系数不是，不是指数函数；
② 的指数不是自变量，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是不是常数，不是指数函数；
⑤ 的指数不是自变量，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
2．【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
题型二、求指数函数的解析式、函数值
3．【详解】设函数（且），则，可得，故.
因此，，．
题型三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
4．【详解】设死亡生物体内原有的碳14含量为，经过个半衰期后不能被测到碳14，
由题意得：，即，所以，
又，，
所以，即至少经过的“半衰期”个数是14.
故选：B
5．【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
依题意有y＝3 000×1.06x，
因为2014年年底到2021年年底经过了7年，
故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.
故答案为：4 500
题型四、指数函数的图象及应用
6．【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
7．【详解】解析 ，
函数为偶函数，且过，，
函数在上递增，在上递减，故C符合.
故选：C.
8．【详解】令，得，所以，所以函数的图像恒过定点．
故答案为：
9．【详解】（1）,其图像如图所示，
要使曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围为；
（2）作出曲线，如图所示，
要使曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是，
故答案为：；
题型五、指数型函数的定义域和值域
10．【详解】因为，所以，
故选：A
11．【详解】（1）函数的定义域为，由，得出，即，故值域为
（2）要使得函数有意义，只需，即，故定义域为
，且，即函数的值域为
故答案为：（1）；（2）；
12．【详解】解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
题型六、比较大小
13．【详解】（1）由于，．
∵在上为增函数，且，
∴，即；
（2）由于．
∵在上为减函数，且，
∴；
（3）∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴，，
∴；
（4）∵，在上为增函数，且
∴，
∴．
14．【详解】(1)∵0<0.8<1，∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2<－0.1，∴0.8－0.2>0.8－0.1，
即0.8－0.1<1.250.2.
(2)因为是实数集上的增函数，
所以，所以；
(3)因为，所以.
题型七、简单的指数不等式的解法
15．【详解】由题知：，
整理得：，即，
解得，即.
故答案为：
16．【详解】当时，在上递减，
所以，
即，解得，
即不等式的解集为.
当时，在上递增，
所以，
即，解得或，
即不等式的解集为.
题型八、指数型函数的单调性
17．【详解】(1)将点（2，4）代入 ，得 ，故 ；
(2) ， 是增函数，
，即 ，
， ；
综上，，.
18．【详解】(1)解：由题意，函数为上的偶函数，当时，
设，则，可得，
即当时，函数的解析式为.
(2)解：当时，，
因为和都是增函数，可得在上为增函数，
又因为函数为上的偶函数，所以函数在区间上为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
(3)解：由函数为上的偶函数，
且函数在区间为上单调递增，在区间单调递减，
则不等式，即为，解得，
即不等式的解集为.
19．【详解】(1)由题意得，即，解得.
(2)①由（1）知，，则，
又函数与均为R上的增函数，所以是R上的增函数，又，
故不等式可化为，则，所以不等式的解集为.
②若恒成立，则恒成立，所以.
因为，当且仅当，即时等号成立，所以，
所以实数k的取值范围是.
跟踪训练答案
1．【详解】A中底数不满足大于0且不等于1，故错误；
B中函数满足指数函数的形式，故正确；
C中系数不是1，故错误；
D中指数部分不是x，故错误；
故选：B
2．【详解】由题意可得，解得.
故选：C.
3．【详解】解：由题意，设（且），
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
故答案为：
4．【详解】因为这种病毒开机时据内存，每3分钟后病苺所占内存是原来的2倍，
所以，一个三分钟后它占据的内存为；
两个三分钟后它占据的内存为；
三个三分钟后它占据的内存为；
所以分钟后的病每所占内存为，
所以，．
（2）由题意，病毒占据内存不超过时，计覚机能够正常化用，又，
故有，解得．
所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．
故答案为：，；57
5．【详解】(1)解：不会，因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，
所以经过天以后，氡元素还有原来的.
(2)解：因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，
所以要使剩下的氡元素只有现在的，
需经过天.
(3)解：因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，
所以，即，
则利用计算器，得.
6．【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．
由函数的图象可知，排除A，B．
由②知，函数在时有意义，排除C，
故选：D．
7．【详解】，
时，时，.
故选：B.
8．【详解】当，即时，，
所以恒过定点.
故答案为：
9．【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
故答案为：.
10．【详解】因为指数函数在上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为，
当x=1时，函数有最小值为. 所以值域为.
故答案为：
11．【详解】设，因为，所以.
又因为函数为增函数，有，所以函数的值域为．
故答案为：
12．【详解】(1)由题意可得，，即，所以函数的定义域为．
(2)因为指数函数的定义域为，所以函数的定义域为．
13．【详解】（1）①设，
由及的定义域都是，故函数的定义为．
∵，
∴，又，故原函数值域为．
②函数在上增函数，即对任意且，有，
而，即，
所以原函数在上是减函数，同理：原函数在上是增函数.
（2），图象和性质如下，
①对称性：对称轴为；
②单调性：在上单调递减，在上单调递增；
③定义域为R，值域：.
14．【详解】(1)因为指数函数是减函数，且，所以
(2)因为指数函数是增函数，且，所以
(3)因为指数函数是减函数，且，所以
(4)因为指数函数是增函数，且，所以
15．【详解】，，，
16．【详解】由得：，解得：，即；
由得：，；
，.
故选：D.
17．【详解】（1），令，则，所以当时，取得最小值2，故的值域为；
（2）当时，由于单调递增，所以，解得：或；
当时，于单调递减，所以，解得：，
综上：当时，解集为，当时，解集为.
18．【详解】(1)解：因为(，且)是指数函数，
所以，，
所以，；
(2)解：由（1）得(，且)，
①当时，在R上单调递增，
则由，
可得，解得；
②当时，在R上单调递减，
则由，
可得，解得，
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．【详解】(1)解：因为函数，由，可得，
当时，可得，解得；
当时．可得，解得，
故当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
(2)解：因为函数和是增函数，所以函数是增函数，
因为，所以是减函数，则函数是减函数，
不等式，
即，
所以，整理得，
则，
由，所以，当且仅当时，等号成立，
又由，可得，
所以，解得，
故的取值范围为．

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