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2024-2025学年广东省东莞市嘉荣外语学校高二港澳台、华侨联考班下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合中的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是( )
A. 命题“，”的否定为“，”
B. 命题“，”的否定为“，”
C. “”是的充要条件“”
D. “”是“”的充分不必要条件
5.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数则在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
8.三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请位教师与位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有( )
A. B. C. D.
9.展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
10.若，则( )
A. B. C. D.
11.若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则在甲、乙不相邻的条件下，丙、丁相邻的概率为( )
A. B. C. D.
12.函数的零点在区间内，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知集合，，则
14.已知随机变量服从正态分布且，则 ．
15.若直线是曲线的切线，则 ．
16.若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是 ．
17.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是 ．
18.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，且，成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
讨论的极值；
求在上的最小值．
21.本小题分
在一个袋子里有大小一样的个小球，其中有个红球和个白球．
现有放回地每次从中摸出个球，连摸次，设摸到红球的次数为，求随机变量的概率分布及期望；
现无放回地依次从中摸出个球，连摸次，求第二次摸出白球的概率；
若每次任意取出个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为，求的概率．
22.本小题分
某校航模社团共有名学生，研究“战斗机航模”的有人，其中男生人女生人，另外人研究“无人机航模”．
从研究“战斗机航模”的人中任意选出人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率；
从航模社团中任意选出人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望．
参考答案
1.
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14.
15.
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17.
18.
19.解：当时，，
，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极大值，无极小值；
当时，，则，
由得，，
设，则，
由，
当时，，
所以的取值范围为．

20.解：由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值．
当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若；若；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值．

21.解：由题意分析，的可能值为，，，
所以， ，
，
分布列为：
．
记“第一次摸出红球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
“第二次摸出白球”为事件，
则，，
即第二次摸出白球的概率为：．
依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为．
即是“前次只有次取到红球，其余次取到白球，第次取到红球”
．

22.解：记事件：选出的人中至少有一个是女生，事件：选出的人都是女生，
所以，，
由条件概率公式可得；
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，，
，
所以随机变量的分布列如下表所示：
所以．

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