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2024-2025学年四川省成都市树德中学高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则( )
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形中，点满足，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是两条直线，，是两个平面．下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.九章算术中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，
，其体积为，，分别为，的中点，则异面直线
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有且仅有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，在所在的平面内，有一个边长为的正方形绕点按逆时针方向旋转不少于周，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是( )
A.
B.
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则的最小值为
10.在中，，，，点为边上一动点，则( )
A. B. 当为边上的高线时，
C. 当为边上的中线时， D. 当为角的角平分线时，
11.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，点，，分别为棱，，的中点，则( )
A.
B. 平面与平面所成角的正弦值为
C. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形的周长为
D. 设点为侧面内包括边界的一动点，且，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量，若，则实数的值为 ．
13.天府熊猫塔位于四川省成都市戍华区猛追湾街，是中国西部第一高塔．塔上发射中央台、四川省台、成都市台以及数字移动电视、手机电视等新媒体频道，覆盖半径公里，是四川省广播、电视、微波传输发射枢纽．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机沿着仰角的方向靠近塔，飞行了到达点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，且、、、四点在同一平面上，则该塔的高度为 参考数据：取
14.如图，在平面四边形中，是边长为的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值．
求这名工人一天生产该产品的数量的众数，分位数和平均数．
16.本小题分
如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．
求证；
求三棱锥的体积．
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知向量，，设函数．
化简并写出的最小正周期；
若，且，求的值；
在锐角中，若，，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，是边长为的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．
证明：平面；
求的值；
设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．
19.本小题分
某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧，沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点，如图，已知锐角中，，其外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点．
求；
若点为劣弧上一动点，求的最小值；
若，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由频率分别直方图的性质，可得，
解得．
由频率分布直方图，可得众数为，
因为前组的频率和为，前组的频率和为，
所以分位数在第组，设分位数为，
则，解得，所以分位数为，
这名工人一天生产该产品的数量的平均数为：，
所以这名工人一天生产该产品的数量的平均数为．

16.解：折叠前，，折叠后，，
因为，、平面，故平面，
因为平面，故．
由问可知，平面，所以三棱锥的高，
又因为折叠前为，点，分别为，的中点，
所以，
所以；
设点到平面的距离为，则有，
又有，故解得．

17.解：
故最小正周期为．
因为，由，则，
所以，
则
；
因为，又为锐角三角形，
所以，则，
由正弦定理，
可得三角形的周长
，
由为锐角三角形，可得，
因为都在上单调递增，
所以在上单调递减，
即
所以的取值范围为．

18.解：如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面．
连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，则，
因为，，所以，故．
如图，取的中点，
因为平面，，平面，所以，．
又，分别是，的中点，所以，
由，得，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，则，
所以是二面角的平面角，即．
因为是边长为的等边三角形，所以．
设，则，，得
过作交于，连接，由平面，得平面，
所以为直线与平面所成的角，即．
由得，，
在中，．
在中，由余弦定理可得，
所以，所以
因为，所以
所以的取值范围为．

19.解：在锐角中，，其外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，解得．
．
由题可知，．
设点为的边所对的外接圆的劣弧，点为边的中点．
由题意及对称性可知．
故要使取得最小值，只需最小．
在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时．
，
即的最小值为．
由可知：，．
，．
又，
由圆的性质可知．
又，
，解得．
在锐角中，，，
，．
由正弦定理可得：，
，．
在中，由点是的垂心可得，，．
在中，由正弦定理可得，．
同理可得，
，
．

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