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2024-2025学年云南省楚雄第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
3.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.已知向量则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
7.下列命题说法错误的是( )
A. 在上单调递增
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若集合恰有两个子集，则
D. 对于命题存在，使得，则：任意，均有
8.已知函数，若其中，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，的平均数和中位数相同
B. 数据，，，，，，，，的众数为
C. 有甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取甲个体数为，则样本容量为
D. 甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是乙组
10.函数，把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图像关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若，则的值域为
11.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是( )
A. 设，，若，则，
B. 设，则
C. 设，，若，则
D. 设，，若与的夹角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象关于轴对称，则 ．
13.已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为 ．
14.中，角，，的对边分别是，，，若，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
，，为平面内不同的三点，，，．
若，，三点共线，求实数的值；
若，的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知向量，，记函数．
求函数在上的取值范围；
若为偶函数，求的最小值．
17.本小题分
在中，内角所对的边分别是，已知，为锐角．
求角的大小；
在的面积为，，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上问题：若，___________，求的周长．
18.本小题分
为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19.本小题分
若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对“共零函数”．
判断与是否为“共零函数”，并说明理由；
已知与是一对“共零函数”，求的值；
已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对“共零函数”，求的值．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】解：因为，，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
所以，解得；
解：因为，的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
所以，解得且，
所以实数的取值范围为．

16.【详解】解：
则，
的取值范围为．
因为为偶函数，
所以
因此当时．

17.【详解】及正弦定理，得
，
，
即，
若选：得
又即，得
周长为．
若选：由得
又即
得
周长为
若选：由，得
两边平方，得，，
由知，，在中
，
，
周长为．

18.【详解】由每组小矩形的面积之和为得，，解得．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第百分位数，由，解得，
所以第百分位数为；
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为．

19.【详解】由指数函数的单调性知，在上单调递增，且存在唯一零点，
由余弦函数的性质知，的零点为，
所以与不是“共零函数”．
由，则，即，
由，则，即，
又与是一对“共零函数”，则，，
所以，即，；
由，则，
又与是一对“共零函数”，则，
所以，
由，则，
由与也是一对“共零函数”，则，
所以，即，
由在上单调递增，故，则．

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