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2024-2025学年新疆哈密市部分学校高一下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且与共线，则的值为( )
A. B. C. D.
2.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为的样本，则从高二年级抽取的学生人数为( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则所在的复平面位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，则该正四掕台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知为所在平面内的一点，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7.在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是( )
A. 是必然事件 B. 与是互斥事件
C. D.
8.已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题为真命题的是( )
A. 若向量，，则与反向共线
B. 向量在上的投影向量为
C. 与向量共线的单位向量为
D. 已知向量，，则的最大值为
10.在中，内角，，，的对边分别是，，，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 外接圆的面积为
C. 的面积的最大值为 D. 的最大值是
11.如图，在棱长为的正方体中，为掕的中点，且为靠近的三等分点则下列说法正确的是( )
A. 直线与是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为
C. D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 ．
14.在中，，，点为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角当折起后三棱锥的体积最大时，求 ，此时二面角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数．
求的值；
若复数满足，，求的取值范围．
16.本小题分
某学校对学生身高进行调查，抽取名学生，数据分为，，五组统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
求平均身高的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
若该市共有万名高中生，试估计身高低于的学生人数．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，若二面角的大小为，，，，是上靠近点的三等分点，是上的一点，且．
求直线与直线所成角的余弦值；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立．
求甲仅需挑战前两关就通关的概率；
求乙挑战全部三关且通关的概率；
求甲、乙恰有一人通关的概率．
19.本小题分
在锐角中，内角的对边分别为，且点在上，满足且．
求角；
求证：；
求面积的取值范围．
参考答案
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15.【详解】因为为纯虚数，
所以．
由题意：，
所以．
所以的取值范围为：．

16.【详解】因为小长方形的面积和为，
所以，解得．
由频率分布直方图的性质得平均身高为
，
则平均身高的估计值为．
由题意得身高低于的频率为，
而该市共有万名高中生，则身高低于的学生有人，
故身高低于的学生人数有人

17.【详解】由底面，且底面，所以，
又由，，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以即为二面角的平面角，所以，
在直角中，由，可得，
在直角中，由，可得，
在直角中，由，可得，
则，
设异面直线与所成的角为，
则．
因为，可得点到平面的距离等于点到平面的距离的，
过点作，
因为底面，且底面，所以，
因为，且平面，所以平面，
即为点到平面的距离，
在直角中，可得，所以，
又由是上靠近点的三等分点，可得，
所以三棱锥的体积为．

18.【详解】设事件“甲仅需挑战前两关就通关”，则
．
设事件“乙挑战全部三关且通关”，则
设事件“甲通关”，事件“乙通关”，
事件“甲、乙恰有一人通关乙甲通关”，
，

19.【详解】由余弦定理得，
因为，所以，
两侧同乘，可得，
则，可得，
故，而，故．
因为，所以是边上靠近的三等分点，
由向量三等分线定理得，
两侧同时平方得，
则，
而，故，
可得，即原命题得证．
由已知得，则，
且设，因为是锐角三角形，所以，，
由余弦定理得，，
则，，
我们先求解，此时代入，
得到，即，
解得，即，故，
我们再求解，此时代入，
得到，即，
解得，即，故，综上，，
因为，所以，，而，
故，则，
可得，故，
则，
由三角形面积公式得，
令，则，
由对勾函数性质得在上单调递增，
故在上单调递减，当时，，
当时，，故，
则，故面积的取值范围为．

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