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2024-2025学年广东省江门市新会第一中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值是( )
A. B. C. D.
2.下列图中，线性相关性系数最大的是( )
A. B.
C. D.
3.记为等差数列的前项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购种，则不同的选购方式有种
B. 从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经过村去村不同的路线的条数为
C. 一个两层书架，分别放置语文类读物本，数学类读物本，每本读物各不相同，从中取出本，则不同的取法共有种
D. 从，，，，五个数字中任选个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为
5.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为计算王同学第天去餐厅用餐的概率( )
A. B. C. D.
6.下列命题错误的是( )
A. 有一组数据为、、、、、、、，则它们的第百分位数为
B. 线性回归直线一定经过样本点的中心
C. 设，且，则
D. 随机变量，若，，则
7.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
8.下列四组数据中，方差最小的为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立
B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C. 样本相关系数的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果．越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10.已知离数型随机变量的分布列如下表所示：
下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.设正整数，其中，记为上述表示中为的个数．例如：，所以已知集合，下列说法正确的是( )
A.
B. 对任意的，有
C. 若，则使成立的的取值个数为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ．
13.若从的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为 ．
14.已知函数，若在处的切线斜率为，则 ；若恒成立，则的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表．
机床 品级 合计
一级品 二级品
甲机床
乙机床
合计
甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少
依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异．
附：．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和
17.本小题分
从年月日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取后作为调查对象，随机调查了人，其中打算生二胎的有人，不打算生二胎的有人．
从这人中随机抽取人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望；
若以这人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市后中随机抽取人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差．
18.本小题分
已知函数，．
当，时，求在区间上的最值；
当时，若有三个零点，，，
求的取值范围；
判断与的大小关系，并给出证明．
19.本小题分
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．
求的分布列；
若甲药、乙药在试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，假设，．
证明：为等比数列；
求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.

15.解：甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为．
，
依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．

16.解：因为数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，适合上式，
故．
，

17.解：由题意知，的值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
；
由题意可知，全市后打算生二胎的概率为，，，，，且，
，
的分布列为：
．

18.解：当时，，
所以．
求导得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
当时，，
当时，即，
那么，且，
若有三个零点则等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，
又在上零点情况等价于在上零点情况，，
当时，，
所以在上单调递减，所以，函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，，
所以在有唯一零点，即在有唯一零点，
综上所述，有三个零点时，，即的取值范围是；
，证明如下：
由知，时，有三个零点其中，
考虑，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以，又函数在上为增函数，
所以

19.解：由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
，
，，
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
由知：
，，，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理．

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