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2024-2025学年河北枣强中学高二下学期期末二考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间中，下列命题中正确的是( )
A. 相交于同一点的三条直线共面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 垂直同一条直线的两直线平行
2.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥底面半径为，高为，用平行于底面的平面截该圆锥，截得的圆台上，下底面半径之比为，则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
5.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.在数列中，若，则是的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
7.若函数的极大值点与其一个零点重合，则( )
A. B. C. D.
8.已知在圆锥中，底面圆的直径，圆锥的体积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列中，，前三项和，则公比的值为( )
A. B. C. D.
10.为激发同学们的学习积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验．在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果近似服从正态分布若已知，则( )
A. B. C. D.
11.在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则( )
A. 当时， B. 存在，使与重合
C. 随的增大而增大 D. 对任意的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列对任意正整数，均满足，则 ．
13.在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为 ．
14.来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列满足：，，为其前项和，．
求数列的通项公式前项和；
令，求的最大值
16.本小题分
近日，小米新能源汽车发布后，在小时内订单突破了万台，创造了中国新能源汽车的最高订单记录，同时也向世界展现了我国新能源的实力，为此某车评机构采用随机抽样调查的方式在某地区对青少年群体和中年群体进行了有关这种汽车类型的喜爱程度的相关调查，得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
青少年群体
中年群体
合计
完善上述列联表，并求列联表中所涉及到的个数据的极差和中位数；
根据上表，分别估计青少年群体喜欢以及中年群体不喜欢的概率；
根据小概率值的独立性检验，分析喜欢是否与不同年龄群体有关？
附：
17.本小题分
如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为．
求点到平面的距离；
若，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
记，其中，数列满足．
证明：数列是等差数列，并求；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围；
是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由；
函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：设等差数列的公差为，则，
所以，．
所以
得到
得到
合并得到
所以，，所以．

16.解：列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
青少年群体
中年群体
合计
表格中的个数据由小到大排列为：，
所以这个数据的极差为，中位数为．
由知，青少年群体喜欢的概率；
中年群体不喜欢的概率为．
零假设：喜欢与不同年龄群体无关，
由表格中数据经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即认为喜欢与不同年龄群体有关，此推断犯错误的概率不超过．

17.解：由，，得，，
设点到平面的距离为，，
由，得，即，解得，
所以点到平面的距离为．
由知，，而点到平面的距离为，
所以与平面所成角的正弦值为．

18.解：证明：因为，所以，则，所以．
因为，所以当时，，
所以，代入，得，
两边同时除以并整理得，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，
所以，即．
由得，，
所以，
所以，
即．

19.解：，则，
因为在其定义域内单调递减，所以恒成立，
结合二次函数的性质，开口向下，令可得．
设存在，
则，即，
代入展开可得，
比较的系数可得，即，
验证其它项也满足，故．
，
令，因为，所以
则原函数可变为，则，
因为函数在区间上有且仅有一个极值点，
所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点，
，，
所以，
所以正数的取值范围为．

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