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2024-2025学年河南省安阳市滑县部分学校高二下学期期末测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，曲线：的周长为( )
A. B. C. D.
5.下列的值能使成立的是( )
A. B. C. D.
6.某学校举办足球赛，将支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，命题：是奇函数，命题：在上是减函数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 在上不单调 D. 的最大值为
10.市场监督管理局对家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为、，其中工厂生产的产品得分如下表：
分数 名次按高分到低分排名
甲产品
乙产品
则在此次抽查评分中( )
A. 家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B. 家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C. 家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数高于平均数分以上
D. 家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数低于平均数分以上
11.曲线是平面内与三个定点，，的距离之和等于的点的轨迹，为上一点，则( )
A. 曲线关于直线对称 B. 不存在点使得
C. 面积的最大值大于 D. 存在点使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的离心率为，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为 写出一个即可
13.已知的面积为，，，则 ．
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与曲线也相切，求；
若，求的最小值．
16.本小题分
已知数列是等差数列，，且成等比数列给定，记集合的元素个数为．
求的值
求满足的最小自然数的值．
17.本小题分
在四棱台中，底面是边长为的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面．

证明：平面平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为．
求抛物线的标准方程；
求证：；
求的最小值．
19.本小题分
不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同现从中有放回地任取次，每次取个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为，的“”分布，记为．
若，求；
若，且，求的最小值；
若，求证：且，．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】，，则，则函数在点处的切线为，即．
，，
在点处的切线与曲线也相切，
设切线与曲线的切点为，则，
故切线为，即，
即，解得．
，恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，故，
故的最小值为．

16.【答案】【详解】解：设数列的公差为，
因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数；
解：由集合的元素个数为，
结合可得，
所以，
当时，可得；
当时，可得，
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是．

17.【答案】【详解】连接，，
因平面，平面，平面平面，所以，
设，，连接，
由在四棱台中，平面平面，
平面平面，平面平面，
则得，
又由题意知，则得四边形是等腰梯形，
所以，同理可证，
因，平面，所以平面，
又底面是菱形，所以，
则以为原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，

因为菱形的边长为，，则，，
则，，则，
所以，，，，，
则，，，
设，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，，所以，
所以，即平面，
又平面，所以平面平面；
设，因，，
则，，，
所以，则得，
又在上，设，则，解得，
可得，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
则得，
所以，所以，
故平面与平面夹角的正弦值为．

18.【答案】【详解】因为抛物线：，所以焦点为，准线为，
如图，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，得，
易知，则，，
又，，
所以，当且仅当时取等号，
因为的最小值为，所以，，
所以抛物线的标准方程为．
当轴时，，．
当不垂直于轴时，设直线的方程为，，
则直线的方程为，
令，得，即为的中点，所以．
综上可得，．
方法一 如图，连接，，因为，，
所以，则．
由知，为的中点，故．
设直线的倾斜角为，，可得，则，
因为，
所以．
所以，
因为，所以，同理，
则，
所以，
所以的最小值为．
方法二 同方法一证得．
在与中，，
所以，则，即，
同理可得．
又，
，
所以，
则，所以的最小值为．

19.【答案】【详解】方法一 由，
得．
方法二 ．
由，，
得，．
则
．
令，得．
又在上单调递减，
且，，故的最小值为．
由，，得
，，
所以
．
方法一 构造函数．
先证，．
设，，则令，得，列表如下：
单调递减 极小值 单调递增
所以，
故，，当且仅当时取等号．
令，则，
故，
即．
所以
，
所以，
所以，
故且，．
方法二 数学归纳法．
要证且，，即证，
即证．
当时，左边右边，成立；
假设当且时命题成立，即．
则当时，，
只要证，即证，且．
因为，
所以且，．
故当时，，命题也成立．
综合，且，，
故得证．

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