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2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，且，求的值为( )
A. B. C. D.
6.定义在上的函数，若关于的方程其中有个不同的实数根，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数是幂函数，则实数的值是或
B. 幂函数始终经过点和
C. 若函数，则在区间上单调递减
D. 若函数，则对于任意的，有
10.下列说法正确的是( )
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则是第一象限角
C. 若，且，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
11.下列命题，其中正确的命题是( )
A. 函数的最大值为
B. 函数的减区间是
C. 若，则为
D. 已知在上是增函数，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一次函数满足，则______．
13.若函数的定义域为，则实数取值范围是______．
14.已知正数，满足，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当地两所高中校、校数学一轮复习的进度基本相同，前一阶段完成了前三章的教学内容，为了检测学生对所学内容的掌握情况，两所学校联合组织了次检测考试，每个学生的成绩只有合格和不合格两种结果为了解两所学校学生的成绩情况，从校、校两个学校共随机抽取了名学生，相关数据如下表：
合格 不合格 总计
校
校
总计
请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“学生的成绩情况”与“学生所在学校”是否有关？
以频率估计概率，从校学生中抽取名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望．
附表及公式：
，其中
16.本小题分
已知，函数．
若是的极值点，求的值和该极值；
讨论函数单调性．
17.本小题分
已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且．
求，的值；
用函数单调性的定义证明在上单调递减；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率，设民宿租金为单位：元日，得到如下数据散点图．
若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为元的那间民宿在淡季内的三天中至少有天闲置的概率．
根据散点图判断，与哪个更适合于此模型给出判断即可，不必说明理由？根据判断结果求回归方程；
若该地一年中旅游淡季约为天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本．试用中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这天的收益达到最大？
；
记，，，，，，，，，，．
19.本小题分
已知函数，．
若为正实数，时，都有，求的最大值．
证明：；
若函数的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.从校、校两个学校共随机抽取了名学生，
校的学生有人，校的学生有人．
补充完整的列联表如下：
合格 不合格 合计
校
校
合计
零假设：“学生的成绩情况”与“学生所在学校”无关．
由题意得．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
认为“学生的成绩情况”与“学生所在学校”有关，此推断犯错误的概率不大于．
以频率估计概率，从校学生中抽取名学生，记合格的人数为，
由得，校的学生测试成绩合格的频率为．
依题意，得，
则，，
，．
的分布列为：
，．
16.已知，函数，
则，
是的极值点，
，
即，
．
经检验符合题意，极值．
由题意知：定义域为，
令，
解得：，；
当，
即时，若，；若，；
在，上单调递减，在上单调递增；
当，即时，且不恒等于，
在上单调递减；
当，即时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当，在，上单调递减，在上单调递增．
17.因为，
令，可得，
又当时，，
所以，
令，，可得，
所以，；
证明：因为，
所以，
，，且，则，依题，
则，
即在上单调递减；
由已知，
又由得，
则有，
由可知在上单调递减，
所以恒成立，
即恒成立，
又，
则，，
解得，
故实数的取值范围为．
18.解：三天中至少有天闲置的反面为天中至多有一天能够租出，又每天的出租率为，
所以天中至少有天闲置的概率．
根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故的拟合效果更好，
依题意，，，
所以，
所以，
所以回归方程为
设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率
所以该民宿在这天的收益，，
所以，
令得，，
所以，
且当时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，存在最大值，
所以旅游淡季民宿租金定为元时，该民宿在这天的收益达到最大．
19.因为为正实数，
令，则恒成立，
所以函数在区间上单调递增，且．
当时，，所以函数在上单调递减，此时，符合题意．
当时，，，由零点存在定理，时，有，即函数在上递减，
在递增，所以当时，有，此时不符合．
综上所述，正实数的最大值为．
由知，当，时，，
令时，有，
即，
累加得，．
因为，
所以，
即函数在上递增，
又，
由零点存在定理，时，有，
即，
因此，
而函数在上递减，在上递增，
所以，
由于对勾函数在单调递减，
故，则，因此，
即．
要证方程有唯一的实数解，
只要证方程有唯一的实数解．
设，则，
所以函数在上递增，
又，，
由零点存在定理，时，，即，
因此，
又，
设，
则函数在上递增，
于是，
又，
故，
而函数在上递减，在上递增，
所以，
即函数有唯一零点，
故方程有唯一的实数解．
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