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2024-2025学年湖南省郴州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知抛物线，上一点到焦点距离为，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足：，，，则( )
A. B. C. D.
5.在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.某市教育部门为了解高二学生的体重情况，随机抽查了名高二学生，经统计后发现样本的体重单位：近似服从正态分布，且体重在到之间的人数占样本量的，则样本中体重不低于的约有( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
7.年第十三届中国湖南国际矿物宝石博览会月日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在中，，为边上的中点，，，且，则( )
A. 外接圆的半径为 B. 与的面积相等
C. D. 的最大值为
10.下列结论正确的是( )
A. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲乙相邻有种排法
B. 从个男生、个女生中选出人参加植树节活动，至少有一名女生，则有种选法
C. 已知随机变量，若，则
D. 若，，，则
11.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率分别为，，则( )
A. 以为直径的圆与轴相切
B.
C. 的最小值为
D. 过，两点分别作抛物线的切线，，两切线，相交于点，则的面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中的系数是______用数字作答
13.在四面体中，为正三角形，平面且，若，，，均在半径为的球的球面上，则四面体的体积为______．
14.已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在五棱锥中，平面，，，点为棱的中点．
证明：；
若，，，求平面与平面所成角的大小．
17.本小题分
在某军事训练基地，新兵小张进行实弹射击考核，考核要求连续进行次移动靶射击，每次击中目标可获得优秀评分根据小张平日训练记录，他每次射击命中目标的概率为小张在这次射击考核中，求：
恰好有次击中目标的概率是多少？精确到
至少有次击中目标的概率是多少？精确到
最有可能击中目标多少次？参考数据：
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在点处的切线方程；
当时，设函数，讨论函数零点的个数．
19.本小题分
已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点到这条渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
为坐标原点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意知，当时，，所以，
当时，，所以，则，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得；
由知，，所以．
，
，
由得：
．
解得．
16.证明：平面，平面，
，
又，，
又，，平面，
平面，
又平面，，
又点为棱的中点，且，，
又，，平面，
平面，平面，
．
，
又中，，，
则，，
又平面，
以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
由题知，，，，，
，，
由知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
可取，
设平面与平面所成角为，
，
又，，
所以平面与平面所成角为．
17.记击中目标的次数为，则，
则，其中，，，，
所以小张恰好有次击中目标的概率为．
至少有次击中目标的概率为．
设击中次概率最大，则
，
即，
化简得，解得，
因为，属于，
则小张在次射击中，最有可能击中目标次．
18.当时，，
求导得，所以，又，
所以在点处的切线方程为．
当时，，所以，
令，求导得，
因为，所以在上单调递增，所以．
因为，所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以有唯一零点；
下证当时，无零点：
先证：
记，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
再证：
由，得，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
因此当时，没有零点．
综上所述，时，有个零点；当时，没有零点．
19.设双曲线的焦距为，
点到渐近线的距离为，
因为，
所以，
因为双曲线的一条渐近线为，
所以，
则双曲线的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
因为直线与双曲线右支交于两点，
所以，
解得，
则，
因为点到直线的距离，
设，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
因为，
令
此时，
当，即时，等号成立．
综上所述，的最大值为．
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