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第二十一章 一元二次方程 单元试卷
一、选择题
下列属于二元一次方程的是
A． B． C． D．
一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A． ，， B． ，，
C． ，， D． ，，
方程 的解为
A． B．
C． ， D． ，
下列四个备选项所列的方程中，其中有两个不相等实数根的方程是
A． B．
C． D．
用配方法解方程 ，方程应变形为
A． B．
C． D．
已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
A． B． 且
C． D． 且
某工厂一月份生产零件 万个，已知第一季度共生产零件 万个，若设该厂平均每月的增长率为 ，可以列出方程
A．
B．
C．
D．
已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，且满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
春藤生物教师在带领同学们考察时，发现一种植物的 个主干上长出 个支干．每个支干上再长出 个小分支．若在 个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是 个．则 等于
A． B． C． D．
如图，矩形展牌的长、宽分别为 和 ，展牌内四周有等宽边框，边框围成的矩形面积是展牌面积的四分之三、设边框宽为 ，则 满足的方程是
A． B．
C． D．
二、填空题
将方程 化成一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项分别是 ．
元旦晚会，全班同学互赠贺卡，若每两个同学都相互赠送一张贺卡，小明统计全班共送了 张贺卡，那么全班有多少人？设全班有 人，则根据题意可以列出方程 ．
已知 是方程 的一个根，则 ．
定义运算 ，若 ，，，则 的值为 ．
关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是 ．
某服装平均每天可售 件，每件盈利 元，若每件降价 元，则每天可以多售 件．如果每天要盈利 元，设每件应降价 元，则可列方程： ．
三、解答题
用适当的方法解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
已知关于 的一元二次方程 ．
(1) 求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程有两个实数根 ，，且 ，求 的值．
某商场进价为每件 元的商品，按每件 元出售时，每天可卖出 件，如果这种商品每件涨价 元，那么平均每天少卖出 件，当要求售价不高于每件 元时，要想每天获得 元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？
“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 的目标，第三阶段实现水稻亩产量 的目标．
(1) 若第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率．
(2) 按照（）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到 ，请通过计算说明他们的目标能否实现．
某学校计划利用一片空地建一个形状为矩形的学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为 ，另外三面用木板建板墙，计划建造车棚的面积为 ，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为 ．
(1) 为方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个 宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
(2) 在（）的条件下，如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停放自行车的面积为 ，那么小路的宽度是多少 ？
阅读下列材料：已知实数 ， 满足 ，试求 的值．
解：设 ，则原方程变为 ，整理得 ，即 ，
．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常见的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1) 已知实数 ， 满足 ，求 的值．
(2) 若四个连续正整数的积为 ，求这四个连续正整数．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】A
2. 【答案】D
【解析】一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ，，．
故选：D．
3. 【答案】D
【解析】方程 ，
因式分解得：，
可化为 或 ，
解得：，．
4. 【答案】C
【解析】在方程 中，，该方程无实数根；
在方程 中，，该方程有两个相等的实数根；
在方程 中，，该方程有两个不相等的实数根；
在方程 中，，该方程无实数根．
5. 【答案】A
【解析】 ，
，
．
6. 【答案】D
【解析】 关于 的一元二次方程 有两个不等的实数根，
即
解得
综上， 的取值范围为： 且 ．
7. 【答案】C
【解析】设该厂平均每月增长率为 ，
由题意得：
，
即 ．
8. 【答案】B
【解析】 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，
，，
，
，
故 ，解得：．
9. 【答案】C
【解析】由题意得： 个枝干上有 个小分支，则小分支共有 个，
，
，
（舍）或 ，
．
10. 【答案】C
【解析】边框为 ，则空白部分长为 ，宽为 ，
故方程为 ，
即 ．
二、填空题（共6题）
11. 【答案】 ，，
【解析】 ，
，
．
二次项系数，一次项系数，常数项分别为 ，，．
12. 【答案】
【解析】设全班有 人．根据题意，得 ．
13. 【答案】
【解析】 是方程 的一个根，
将 代入 中，得：，
，
，
把 代入，
，
．
14. 【答案】 或
【解析】由题意可得：，
，
解得： .
故答案为： 或 ．
15. 【答案】
【解析】由于关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
把 代入方程，得 ，
解得，，．
当 时，由于二次项系数 ，
方程 不是关于 的一元二次方程，故 ．
所以 的值是 ．
故答案为：．
16. 【答案】
【解析】设每件服装应降价 元，由题意得：．
三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(1) ，．
(2) ，．
(3) ，．
(4) ，．
18. 【答案】
(1) ，
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2) 由根与系数的关系得出
由 得 ，解得 ．
19. 【答案】设该商品每件张价 元，
依题意得解得因为售价不高于 元，
所以 不符合题意，舍去．
答：该商品每件应涨价 元．
20. 【答案】
(1) 设亩产量的平均增长率为 ．
根据题意，得解得 亩产量的平均增长率为 ．
(2) ．
，
他们的目标能实现．
21. 【答案】
(1) 设与墙垂直的一面为 ，另一面为 ，
依题意，得解得，
得 ，
，
长为 ，宽为 ；
(2) 设小路的宽为 ，解得答：小路的宽为 ．
22. 【答案】
(1) 设 ，则 ，
，即 ，
，
，
，
．
(2) 设最小数为 ，则 ，
即：，
设 ，则 ，
，，
，
，
，（舍去），
这四个整数为 ，，，．

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