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4.3对数及对数函数题型总结
题型一：指数式与对数式互化及其应用
1．若，，则（ ）
A．10 B．20 C．50 D．100
2．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B． C． D．
3．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：）
A． B． C． D．
4．素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
5．把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为，空气的温度为，那么小时后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数.现有、两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却小时后，、两个物体的温度分别为、，假设、两个物体的冷却系数分别为、，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a是方程的解，b是方程的解，则为（ ）
A． B． C．3 D．
9．已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）；
(2)解关于x的不等式．
10．已知二次函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为，的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)讨论在上的最小值.
题型二：换底公式的运用
11．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．12
12．已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，则等于（ ）
A．4 B．6 C．9 D．25
14．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，，则的值为（ ）
A．或0 B．1 C． D．1或0
16．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
17．农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍.
A．129 B．150 C．197 D．199
18．（1）计算：；
（2）已知，求的值.
19．求满足下列条件的各式的值：
(1)若，，求的值；
(2)若，求的值．
20．计算：
(1)若，若，求m的值；
(2)
题型三：对数函数的定义域、值域及解析式
21．函数的部分图象如图所示，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（ ）
A．的图象只能出现在第一象限 B．的图象可以出现在第一、第二象限
C．的值域为 D．在区间和上单调递减
25．已知函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
26．若函数是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2 B．1 C．2 D．且
27．已知函数（，且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的解析式及定义域；
(3)在（2）的条件下，若，求实数x的值．
28．已知函数（，且）．
(1)求的定义域；
(2)若，求；
(3)求不等式的解集．
29．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并证明；
(3)若，求的取值范围.
30．已知函数
(1)求的定义域;
(2)若，求的值;
(3)，成立， 求实数的取值范围．
题型四：对数型函数过定点问题
31．已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
32．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
33．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
34．函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
35．已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
36．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．是偶函数
C．若，则
D．函数（且）的图象必过定点
37．已知函数，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象过定点 B．
C． D．
38．已知函数且，则下列为真命题的是（ ）
A．函数的图象过定点
B．若，则，且时，都有
C．若，则不等式的解集为
D．函数的图象与函数的图象关于直线对称
39．已知函数（为常数）过点．
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)解关于的方程．
40．已知函数的图象恒过定点，其中且．
(1)求实数的值，并研究函数的奇偶性；
(2)函数，关于x的方程恰有唯一解，求实数的范围．
题型五：对数函数性质的综合应用
41．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
42．已知实数，，满足：，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
43．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
44．若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”，已知函数，则的“和谐点对”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
45．我们在概念课教学时会注意到这么一个素材：中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的象将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，事实上我们知道奇函数关于原点对称，选出以下不正确的选项（ ）
A．函数是圆O的一个“太极函数”
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数是圆O的一个“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
46．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象与函数的图象关于x轴对称
B．函数的图象关于y轴对称
C．函数的图象在上单调递增
D．
47．已知函数，若互不相等的实数，，，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，
C．的取值范围是
D．的取值范围是
48．已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）．
(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：；
(2)当时，求m的值；
(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值．
49．已知函数．
(1)证明：；
(2)若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数的图象上，则称函数具有性质P，判断函数是否具有性质P，并证明你的结论；
(3)设点，函数．设点B是曲线上任意一点，求线段AB长度的最小值．
50．已知函数且的图象过点.
(1)求不等式的解集；
(2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值.
题型六：反函数
51．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则（ ）
A． B． C． D．
52．已知函数与函数的图像关于对称，且，有如下五个命题，正确的个数为（ ）
①函数的定义域为；
②函数是偶函数
③若，则的取值范围是
④对于任意的，都有
⑤对于函数定义域中任意的两个不同实数，，总满足．
A．4 B．3 C．2 D．1
53．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
54．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
55．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为2
B．是的充分不必要条件
C．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
D．函数与的图象关于直线对称，则单调递减
56．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数
57．下列结论中正确的是（ ）
A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程的解集为；
D．一次函数一定存在反函数．
58．已知是上的奇函数
(1)求的值；
(2)求的反函数，并用表示；
(3)对任意的解不等式.
59．已知函数的图象经过点．与互为反函数.
(1)求的值及的定义域，并判断的奇偶性；
(2)求关于的不等式的解集．
60．已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)若成立，求的取值范围；
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
4.3对数及对数函数题型总结答案
题型一：指数式与对数式互化及其应用
1．【详解】因为，又因为可得,
所以.
故选：B.
2．【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
3．【详解】由题意，可得，解得，则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，
所以，则．
故选：B.
4．【详解】由题意，
又，所以，
从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为.
故选：B.
5．【详解】由题意可得，则，
两式相除可得，所以，，即.
故选：A.
6．【详解】设，则，
∵，即，整理得，
注意到，则，
解得，即.
故选：D.
7．【详解】，，
令，，当且仅当，即时取等号，
因此当时，取得最小值4，则，
所以实数m的取值范围是.
故选：C
8．【详解】因为是方程的解，所以，
令，则有，
所以，①
因为b是方程的解，所以，即，②
设，易知在R是单调递增，
由①②得，，所以，
代入得，，
故选：C
9．【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为，
所以，
此时，，满足题意，
函数在上单调递增，
因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增，
所以在上单调递增.
（2）由（1）可得函数在上单调递增，
所以，
即，
令，即，即，
当时，，即，因为恒成立，所以解得，
当时，，即，解得；
当时，，解集为空集；
当时，，即，解得；
综上，当时, 不等式的解集为;
当时，不等式的解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
10． 【详解】（1）二次函数在上单调递减，在上单调递增，且的最小值为，
依题意可设，其中，
由的图象过点，得，所以，
所以，即.
（2）因为，
所以等价于，
则或，解得或，
故不等式的解集为.
（3）当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，则；
当，即当时，在上单调递增，
所以.
综上，.
题型二：换底公式的运用
11．【详解】由可得，
由，
故，故，由于，故，
故选；B
12．【详解】由题意知，
又．
综上，．
故选：A
13．【详解】因为，所以，， 所以，
所以 . 故选：D.
14．【详解】由，，，
则，，，
而，，，
因为，
所以，故；
又，
所以，故.
综上所述，.
故选：A.
15．【详解】因为
，
所以由，
得，化简得，
即，解得或.
又，
故当时，；
当时，；
综上，的值为或0.
故选：A.
16．【详解】由，可得，，
所以.
故选：D.
17．【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为，
设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，
则，
，，
，大约经过天能达到最初的倍．
故选：A
18．【详解】（1）
；
（2），故，
故
.
19． 【详解】（1）由，，得，
所以.
（2）由，得，
所以.
20．【详解】（1）由题知，，
所以,
,
所以，又，
.
（2）
.
题型三：对数函数的定义域、值域及解析式
21．【详解】由图象可知，函数为上的奇函数，.
对于A选项，函数的定义域为，A不满足；
对于B选项，函数的定义域为，B不满足；
对于D选项，函数的定义域为，且，
故函数为偶函数，D不满足；
对于C选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，C满足.
故选：C.
22．【详解】由题意可知：对任意恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故选：B.
23．【详解】因为函数在上单调递增，故，
又因为的值域为，
则的值域包含，
所以，解得.
故选：D.
24．【详解】，由得或，
所以函数的定义域为，
当时，，所以，图象位于第四象限；
当时，，所以，图象位于第一象限，
所以的图象出现在第一和第四象限，值域为，故ABC错误；
当时，单调递增，所以单调递减；
当时，单调递增，所以单调递减，
所以函数在区间和上单调递减，故D正确.
故选：D.
25．【详解】因为，，
设，，
令，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，所以的值域为，
又因为，当且仅当时取等号，
可得，所以的值域为，
根据题意可知：，则，
即，解得且，
所以实数的取值范围．
故选：C.
26．【详解】∵函数是对数函数，
∴，且，
解得或，∴，
故选：C．
27． 【详解】（1）因为（，且）的图象过点，所以，所以．又且，所以．
（2），其中且，即，
所以的定义域为．
（3）因为，所以，即，解得．
又因为即，所以
28．【详解】（1）由题意得
解得，即的定义域为．
（2）由，
得或，解得或．
（3）当时，，在上为增函数，
又在上为减函数，在上为减函数，
则是增函数，
由，得，
解得，即的解集为．
当时，在上为减函数，
又在上为减函数，所以在上为增函数，
可得是减函数，
由，得，
解得，即的解集为．
综上：当时，解集为，
当时，解集为.
29． 【详解】（1）由题意得，即，
得，即的定义域为.
（2）为奇函数.证明如下：
由（1）得，函数的定义域关于原点对称，
，.
又，
，为奇函数.
（3），，
可得，
即，则.
又，，
故的取值范围是.
30． 【详解】（1）由，解得，所以，函数的定义域为．
（2）由，得，所以，即．
经检验知符合题意．
（3）由题意知：对成立，即．
在定义域上单调递增，所以，当时，．
所以，，所以 .
题型四：对数型函数过定点问题
31．【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点，
函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称，
所以单调递增，并过定点，
对比选项可知，只有B选项符合题意.
故选：B.
32．【详解】当时，，
所以，函数过定点，得，
所以，，
因为，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，的最小值为8.
故选：B
33．【详解】因为是幂函数，所以，解得或.
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，
故，此时，
当时，，即的图象过定点.
故选：B
34．【详解】由（且），
令，则，
即的图象恒过定点，则，
由，所以，，
又，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
35．【详解】因为，所以函数图象过的定点为，
将其代入直线方程得，即，
又，
所以，
当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.
故选：C.
36．【详解】的定义域为，且，
所以函数为偶函数，故A正确；
函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，故B不正确；
当时，为单调递增函数，由，得，故C正确；
因为（且），
所以函数（且）的图象必过定点，故D正确.
故选：ACD
37．【详解】对于A，当时，，
所以的图象过定点，故A正确，
对于B，令，，，此时，
而，
，
，
不满足，故B错误，
对于C，，
而，
因为，所以，故C正确，
对于D，令，，，此时，
此时，，
故，而，故，
得到，即，故，
而,
,
此时不满足，故D错误.
故选：AC
38．【详解】对于A，对于，，函数的图象过定点，A错误；
对于B，，则，又，
，A错误；
对于C，，不等式化为或，
解得或，则原不等式的解集为，C正确；
对于D，，函数与互为反函数，因此函数
的图象与函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：CD
39．【详解】（1）函数过点，
，，
有意义，
，，
，函数的定义域为；
（2），函数，，
即，
则有，解得，
即方程的解集为．
40．【详解】（1）因为函数的图象恒过定点，
所以，则，得，
所以，
所以，
由，得，即的定义域为，关于原点对称，
令，
因为，
所以为奇函数，即函数为奇函数；
（2）由，得，
所以，
由，得，解得，
由，得，
整理得，
得，解得或，
因为关于x的方程恰有唯一解，
所以或，
解得或，
综上，或.
题型五：对数函数性质的综合应用
41．【详解】因为的定义域为，
因为，，
由可得，即的图象在图象的上方，
画出的图象，如下图，
由图可知：不等式的解集是.
故选：D.
42．【详解】在同一直角坐标系中作出的图象，
其中a是与的交点横坐标，b是与的交点横坐标，
c是与的交点横坐标，观察图象得，
所以，，的大小关系是.
故选：B
43．【详解】由题意得的解中，有且仅有两个整数，
即函数在直线上方的图象中有且仅有两个横坐标为整数的点，
其中直线恒过点，
如下图所示：
显然当满足时，满足要求，
解得.
故选：A
44．【详解】根据题意，“和谐点对”定义可知，
只需作出函数的图象关于原点对称的图象，即，
看它与函数交点个数即可，如图：
观察图象可得，它们的交点个数是2，
即的“和谐点对”有2个.
故选：B
45．【详解】由题意知，太极函数必定是奇函数，
对于A，必有，则，
故，是奇函数，故A正确,
对于B，当时，由对称性知也为太极函数，故正确，
对于C，，故为奇函数，故正确，
对于D，，故是偶函数，故错误，
故选:D
46．【详解】函数的图象如下：
对于A，由函数图象变换可知，图像如下：
函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误；
对于B，由函数图象变换可知，的图象如下：
函数图象关于轴对称，故B正确；
对于C，由函数图象变换可知，的图象如下：
函数图象在上单调递增，故C正确；
对于D，即，，
在定义域上单调递增，
，则，故D正确；
故选：BCD.
47．【详解】如图，作出函数的图象，
的对称轴为，则，
令，解得或，
令，解得或，
，即，则，可得，
令，解得或，
综上所述：，，，
故A错误，B正确；
对于选项C：可得，，
则，
因为在上为单调递减函数，且，，
所以的取值范围是，故C正确；
对于选项D：可得，，
则，
因为在上为单调递减函数，
且，，
所以的取值范围是，故D错误；
故选：BC.
48． 【详解】（1）直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，
，
与函数的图象从左至右相交于C、D，
，
所以，，所以；
（2）因为，又，
所以，
所以或，
当，即，即，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，即，又，解得；
当，即，
所以，即或，
当时，则，即，又，解得，
当时，则，所以，又，方程无解，
综上，；
（3）由（2）可知，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
49．【详解】（1）解：
（2）解：由（1）知，的图象关于点中心对称，
取函数图象上两点，，显然线段CD的中点恰为点M；
再取函数图象上两点，，显然线段EF的中点也恰为点M．
因此四边形CEDF的对角线互相平分，所以四边形CEDF为平行四边形，
所以函数具有性质P．
（3）解：，则（或），
则
，
记（或），则，
记，则，
所以，当，即时，．
50．【详解】（1）依题意，，解得，则，
，
不等式，即，解得，
则有，即，
所以原不等式的解集为.
（2）当时，，又在上单调递增，
则当时，不等式恒成立，等价于恒成立，
即恒成立，当时，，得，
设函数，其图象开口向上，对称轴方程为，
而，即，
又对任意恒成立，则，
于是在上的最小值为，
原问题转化为：存在，使得，即，
由于，则，要使成立，只需，
解得，又，所以的最小值为6.
题型六：反函数
51．【详解】因为时，的图象与函数的图象关于对称，
所以时，，
所以时，，
又因为是奇函数，
所以，
故选：B
52．【详解】由条件可知，，
①，所以函数的定义域为，故①正确；
②，函数是奇函数，故②不正确；
③，则，，
，当时等号成立，，等号不能取得，的取值范围是，故③不正确；
④，
，所以，故④正确；
⑤，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，而表示函数单调递增，故⑤不正确.
故选：C
53．【详解】由题意，函数与互为反函数，则，
所以，
由，解得或，即函数的定义域为或，
令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
又在上单调递增，
所以的单调递增区间为.
故选：D.
54．【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
55．【详解】对于A，因为，所以，故，
因为无解，故不等式取不到等号，故A错误；
对于B，因为函数和在上都是单调递增函数，所以在上是单调递增函数，又因为，即，
故，所以，所以是的充分条件；
当，，，，故是的不必要条件；故B正确；
对于C，当时，不等式可化为恒成立，故符合题意；
当时，因为不等式恒成立，所以，解得，
综上，的取值范围是，故C错误；
对于D，因为函数与的图象关于直线对称，所以，故在上单调递减，故D正确.
故选：BD
56．【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，则，，
，
则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以C正确，D错误.
故选：BC.
57．【详解】A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.
故选：AD
58．【详解】（1）是上的奇函数，
所以，所以，解得.经检验此时函数为奇函数，
所以.
（2）由（1）可知，且为奇函数，
，
得，
所以的反函数为.
（3）由（2）可知，，
，所以，
即，
所以当时，原不等式的解集为：，
当时，原不等式的解集为：.
59．【详解】（1）由题意可得，即，
所以，即，则，
则有，解得，故的定义域为，
为非奇非偶函数；
（2）由（1）可得，，
由与互为反函数，可得，
不等式可化为，
因为在上是增函数，
所以，即，解得，
故该不等式解集为.
60． 【详解】（1）因为（，且）的图象过点，
所以，解得，所以．
又因为函数的图象与的图象关于对称，所以．
（2）因为为内的单调递减函数，
所以，即，
则解得，
所以的取值范围为．
（3）对于，，
对，恒成立，所以．
即实数的取值范围是．

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